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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数的共轭复数记作,已知复数对应复平面上的点,复数:满足.则等于()A. B. C. D.2.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生有人,这两科中仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,则该班()A.物理化学等级都是的学生至多有人B.物理化学等级都是的学生至少有人C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人4.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离5.设复数z=,则|z|=()A. B. C. D.6.函数(其中,,)的图象如图,则此函数表达式为()A. B.C. D.7.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()A. B. C. D.8.已知为正项等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则的值是()A.29 B.30 C.31 D.329.根据最小二乘法由一组样本点(其中),求得的回归方程是,则下列说法正确的是()A.至少有一个样本点落在回归直线上B.若所有样本点都在回归直线上,则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量(),的值一定与有误差D.若回归直线的斜率,则变量x与y正相关10.已知函数,则不等式的解集为()A. B. C. D.11.是边长为的等边三角形,、分别为、的中点,沿把折起,使点翻折到点的位置,连接、,当四棱锥的外接球的表面积最小时,四棱锥的体积为()A. B. C. D.12.已知△ABC中,.点P为BC边上的动点,则的最小值为()A.2 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.点是曲线()图象上的一个定点,过点的切线方程为,则实数k的值为______.14.设,分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则_________15.设是公差不为0的等差数列的前项和,且,则______.16.如图,己知半圆的直径,点是弦(包含端点,)上的动点,点在弧上.若是等边三角形,且满足,则的最小值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)若函数存在零点,求的求值范围.18.(12分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.19.(12分)在三棱锥S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45∘,∠SAC=60°,D为棱AB的中点,SA=2(I)证明:SD⊥BC;(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若曲线、交于、两点,是曲线上的动点,求面积的最大值.21.(12分)已知函数,函数.(Ⅰ)判断函数的单调性;(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.22.(10分)已知函数,.(1)求函数在处的切线方程;(2)当时,证明:对任意恒成立.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据复数的几何意义得出复数,进而得出,由得出可计算出,由此可计算出.【详解】由于复数对应复平面上的点,,则,,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模的计算,考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法,考查计算能力,属于基础题.2、D【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【详解】,对应的点位于第四象限.故选:.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.3、D【解析】
根据题意分别计算出物理等级为,化学等级为的学生人数以及物理等级为,化学等级为的学生人数,结合表格中的数据进行分析,可得出合适的选项.【详解】根据题意可知,名学生减去名全和一科为另一科为的学生人(其中物理化学的有人,物理化学的有人),表格变为:物理化学对于A选项,物理化学等级都是的学生至多有人,A选项错误;对于B选项,当物理和,化学都是时,或化学和,物理都是时,物理、化学都是的人数最少,至少为(人),B选项错误;对于C选项,在表格中,除去物理化学都是的学生,剩下的都是一科为且最高等级为的学生,因为都是的学生最少人,所以一科为且最高等级为的学生最多为(人),C选项错误;对于D选项,物理化学都是的最多人,所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少(人),D选项正确.故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.4、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r5、D【解析】
先用复数的除法运算将复数化简,然后用模长公式求模长.【详解】解:z====﹣﹣,则|z|====.故选:D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.6、B【解析】
由图象的顶点坐标求出,由周期求出,通过图象经过点,求出,从而得出函数解析式.【详解】解:由图象知,,则,图中的点应对应正弦曲线中的点,所以,解得,故函数表达式为.故选:B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质,三角函数的解析式等基础知识;考查考生的化归与转化思想,数形结合思想,属于基础题.7、D【解析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.8、B【解析】
设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则a4=16q3,a7=16q6,a4与a7的等差中项为,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(负值舍去),则有S5===1.故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.9、D【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误;所有样本点都在回归直线上,则变量间的相关系数为,故B错误;若所有的样本点都在回归直线上,则的值与相等,故C错误;相关系数r与符号相同,若回归直线的斜率,则,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x与y正相关,故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到,且,解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为,所以为上的偶函数,因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为,所以,且,解得.故选:D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查函数的奇偶性和单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、D【解析】
首先由题意得,当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时,外接球的半径最小,通过图形发现,的中点即为梯形的外接圆圆心,也即四棱锥的外接球球心,则可得到,进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图,四边形为等腰梯形,则其必有外接圆,设为梯形的外接圆圆心,当也为四棱锥的外接球球心时,外接球的半径最小,也就使得外接球的表面积最小,过作的垂线交于点,交于点,连接,点必在上,、分别为、的中点,则必有,,即为直角三角形.对于等腰梯形,如图:因为是等边三角形,、、分别为、、的中点,必有,所以点为等腰梯形的外接圆圆心,即点与点重合,如图,,所以四棱锥底面的高为,.故选:D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题,关键是要找到外接球球心的位置,这个是一个难点,考查了学生空间想象能力和分析能力,是一道难度较大的题目.12、D【解析】
以BC的中点为坐标原点,建立直角坐标系,可得,设,运用向量的坐标表示,求得点A的轨迹,进而得到关于a的二次函数,可得最小值.【详解】以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系,可得,设,由,可得,即,则,当时,的最小值为.故选D.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示,考查转化思想和二次函数的值域解法,考查运算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
求出导函数,由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标,再由切线方程得纵坐标后可求得.【详解】设,由题意,∴,,,即,∴,.故答案为:1.【点睛】本题考查导数的几何意义,函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值.本题属于基础题.14、1【解析】
令,结合函数的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【详解】由题意,函数分别是上的奇函数和偶函数,且,令,可得,所以.故答案为:1.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性,合理赋值求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15、18【解析】
先由,可得,再结合等差数列的前项和公式求解即可.【详解】解:因为,所以,.故答案为:18.【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算,重点考查了等差数列的前项和公式,属基础题.16、1【解析】
建系,设,表示出点坐标,则,根据的范围得出答案.【详解】解:以为原点建立平面坐标系如图所示:则,,,,设,则,,,,,,,显然当取得最大值4时,取得最小值1.故答案为:1.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算,坐标运算,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2).【解析】
(1)通过讨论的范围,将绝对值符号去掉,转化为求不等式组的解集,之后取并集,得到原不等式的解集;(2)将函数零点问题转化为曲线交点问题解决,数形结合得到结果.【详解】(1)有题不等式可化为,当时,原不等式可化为,解得;当时,原不等式可化为,解得,不满足,舍去;当时,原不等式可化为,解得,所以不等式的解集为.(2)因为,所以若函数存在零点则可转化为函数与的图像存在交点,函数在上单调增,在上单调递减,且.数形结合可知.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集,将零点问题转化为曲线交点的问题来解决,数形结合思想的应用,属于简单题目.18、(1)见解析;(2)【解析】
(1)设中点为,连接、,首先通过条件得出,加,可得,进而可得平面,再加上平面,可得平面平面,则平面;(2)设中点为,连接、,可得平面,加上平面,则可如图建立直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设中点为,连接、,为等边三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,为的中位线,,平面,平面,平面,、为平面内二相交直线,平面平面,平面DMN,平面;(2)设中点为,连接、为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,、、共线,,,,,平面平面.平面平面平面,交线为,平面平面.设,则在中,由余弦定理,得:又,,,,,为中点,,建立直角坐标系(如图),则,,,.,,设平面的法向量为,则,,取,则,,平面的法向量为,,二面角为锐角,二面角的余弦值大小为.【点睛】本题考查面面平行证明线面平行,考查向量法求二面角的大小,考查学生计算能力和空间想象能力,是中档题.19、(I)证明见解析;(II)1【解析】
(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到证明.(II)过点D作DF⊥SE于F,证明DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,计算夹角得到答案.【详解】(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据角度的垂直关系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根据余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD⊂平面SED,故SD⊥BC.(II)过点D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF⊂平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【点睛】本题考查了线线垂直,线面夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20、(1),;(2).【解析】
(1)在曲线的参数方程中消去参数,可得出曲线的普通方程,将曲线的极坐标方程变形为,进而可得出曲线的直角坐标方程;(2)求出点到直线的最大距离,以及直线截圆所得弦长,利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】(1)由曲线的参数方程得,.所以,曲线的普通方程为,将曲线的极坐标方程变形为,所以,曲线的直角坐标方程为;(2)曲线是圆心为,半径为为圆,圆心到直线的距离为,所以,点到直线的最大距离为,,因此,的面积为最大值为.【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换,同
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