高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试【区一等奖】

选修2-2第一章1.一、选择题1．(2023·泉州高二检测)若f(x)＝sineq\f(π,3)－cosx，则f′(α)等于eq\x(导学号10510143)()A．sinα B．cosαC．sineq\f(π,3)＋cosα D．coseq\f(π,3)＋sinα[答案]A[解析]∵f(x)＝sineq\f(π,3)－cosx，∴f′(x)＝sinx，∴f′(α)＝sinα，故选A.2．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{eq\f(1,fn)}(n∈N*)的前n项和是eq\x(导学号10510144)()\f(n,n＋1) B．eq\f(n＋2,n＋1)\f(n,n－1) D．eq\f(n＋1,n)[答案]A[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{eq\f(1,fn)}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，故选A.3．(2023·邯郸高二检测)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是eq\x(导学号10510145)()[答案]B[解析]依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f′(x)＝2ax，显然f′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝eq\x(导学号10510146)()A．e－1 B．－1C．－e－1 D．－e[答案]C[解析]∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，解得f′(e)＝－eq\f(1,e)，故选C.5．曲线y＝xsinx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为eq\x(导学号10510147)()\f(π2,2) B．π2C．2π2 D．eq\f(1,2)(2＋π)2[答案]A[解析]曲线y＝xsinx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，∴三角形面积为eq\f(π2,2).6．已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则eq\x(导学号10510148)()A．A>B>C B．A>C>BC．B>A>C D．C>B>A[答案]A[解析]记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝eq\f(fa＋1－fa,a＋1－a)，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.二、填空题7．(2023·全国卷Ⅲ文，16)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是\x(导学号10510149)[答案]y＝2x[解析]当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝eq\f(ex,e)＋x，所以当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.8．(2023·太原高二检测)设函数f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝\x(导学号10510150)[答案]eq\f(π,6)[解析]f′(x)＝－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋φ＋\f(5π,6))).若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(5π,6)))，∴φ＋eq\f(5π,6)＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq\f(π,6).9．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为\x(导学号10510151)[答案]eq\f(1,2)ln2[解析]∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝eq\f(1,x＋a)，设切点为(x0，y0)，则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且eq\f(1,x0＋a)＝2，解之得a＝eq\f(1,2)ln2.三、解答题10．求下列函数的导数：eq\x(导学号10510152)(1)y＝x(x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x3))；(2)y＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)；(3)y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)；(4)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x)).[解析](1)∵y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3).(2)∵y＝(eq\r(x)＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－1))＝－xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)，∴y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x))).(3)∵y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(x,4)＋cos2\f(x,4)))2－2sin2eq\f(x,4)cos2eq\f(x,4)＝1－eq\f(1,2)sin2eq\f(x,2)＝1－eq\f(1,2)·eq\f(1－cosx,2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)cosx，∴y′＝－eq\f(1,4)sinx.(4)∵y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x))＝eq\f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq\f(1－\r(x)2,1－x)＝eq\f(2＋2x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq\f(－41－x′,1－x2)＝eq\f(4,1－x2).一、选择题1．(2023·潍坊高二检测)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝eq\x(导学号10510153)()A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－eq\f(1,x＋1).∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.2．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2023(x)等于eq\x(导学号10510154)()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx[答案]C[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4为最小正周期，∴f2023(x)＝f1(x)＝cosx.故选C.二、填空题3．(2023·陕西理，15)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为\x(导学号10510155)[答案](1,1)[解析]设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1，因此曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即y＝x＋1；设g(x)＝eq\f(1,x)(x＞0)，则g′(x)＝－eq\f(1,x2)，由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1，所以P(1,1)．故本题正确答案为(1,1)．4．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝\x(导学号10510156)[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝8三、解答题5．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式.eq\x(导学号10510157)[解析]∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a∴a＝eq\f(5,2)，c＝－eq\f(9,2).∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝eq\f(5,2)x4－eq\f(9,2)x2＋1.6．已知f(x)＝eq\f(1,3)x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值.eq\x(导学号10510158)[解析]f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①(1)若－b≤－1，即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f′(x