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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁2.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为()A. B. C. D.3.如图,双曲线的左,右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为()A. B.C. D.4.已知向量,,且,则()A. B. C.1 D.25.如图网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱中最长棱的长度为()A. B. C. D.6.关于函数,有下述三个结论:①函数的一个周期为;②函数在上单调递增;③函数的值域为.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.② C.②③ D.③7.若复数(为虚数单位),则()A. B. C. D.8.若函数恰有3个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.如图,已知三棱锥中,平面平面,记二面角的平面角为,直线与平面所成角为,直线与平面所成角为,则()A. B. C. D.10.已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:①在上单调递增;②③在上没有零点;④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④11.已知平面向量,,,则实数x的值等于()A.6 B.1 C. D.12.如图,设为内一点,且,则与的面积之比为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若、满足约束条件,则的最小值为______.14.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线相切于点,是上一点(不与重合),若以线段为直径的圆恰好经过,则点到抛物线顶点的距离的最小值是__________.15.曲线在点处的切线方程是__________.16.在平面直角坐标系中,若函数在处的切线与圆存在公共点,则实数的取值范围为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设是椭圆上且不在轴上的一个动点,为坐标原点,过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点,求的值.18.(12分)已知函数.若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.(1)若a,且a≠0,证明:函数有局部对称点;(2)若函数在定义域内有局部对称点,求实数c的取值范围;(3)若函数在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.19.(12分)已知函数,直线是曲线在处的切线.(1)求证:无论实数取何值,直线恒过定点,并求出该定点的坐标;(2)若直线经过点,试判断函数的零点个数并证明.20.(12分)已知集合,,,将的所有子集任意排列,得到一个有序集合组,其中.记集合中元素的个数为,,,规定空集中元素的个数为.当时,求的值;利用数学归纳法证明:不论为何值,总存在有序集合组,满足任意,,都有.21.(12分)已知,求的最小值.22.(10分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的内角的对边分别为,且,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
可采用假设法进行讨论推理,即可得到结论.【详解】由题意,假设甲:我没有抓到是真的,乙:丙抓到了,则丙:丁抓到了是假的,丁:我没有抓到就是真的,与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的;假设甲:我没有抓到是假的,那么丁:我没有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以断定值班人是甲.故选:A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用,其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键,着重考查了推理与分析判断能力,属于基础题.2、C【解析】
根据等差数列的性质设出,,,利用勾股定理列方程,结合椭圆的定义,求得.再利用勾股定理建立的关系式,化简后求得离心率.【详解】由已知,,成等差数列,设,,.由于,据勾股定理有,即,化简得;由椭圆定义知的周长为,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴离心率.故选:C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法,考查椭圆的定义,考查等差数列的性质,属于中档题.3、A【解析】
易得,过B作x轴的垂线,垂足为T,在中,利用即可得到的方程.【详解】由已知,得,过B作x轴的垂线,垂足为T,故,又所以,即,所以双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题,在作双曲线离心率问题时,最关键的是找到的方程或不等式,本题属于容易题.4、A【解析】
根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得的值.【详解】由于向量,,且,所以解得.故选:A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示,属于基础题.5、C【解析】
利用正方体将三视图还原,观察可得最长棱为AD,算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示,易得最长的棱长为故选:C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题,其中利用正方体作衬托是关键,属于基础题.6、C【解析】
①用周期函数的定义验证.②当时,,,再利用单调性判断.③根据平移变换,函数的值域等价于函数的值域,而,当时,再求值域.【详解】因为,故①错误;当时,,所以,所以在上单调递增,故②正确;函数的值域等价于函数的值域,易知,故当时,,故③正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质,还考查推理论证能力以及分类讨论思想,属于中档题.7、B【解析】
根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.【详解】,,故选:B【点睛】本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.8、B【解析】
求导函数,求出函数的极值,利用函数恰有三个零点,即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为,令,则或,上单调递减,上单调递增,所以0或是函数y的极值点,函数的极值为:,函数恰有三个零点,则实数的取值范围是:.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数,来确定参数的取值范围的问题,在解题的过程中,注意应用导数研究函数图象的走向,利用数形结合思想,转化为函数图象间交点个数的问题,难度不大.9、A【解析】
作于,于,分析可得,,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可.【详解】作于,于.因为平面平面,平面.故,故平面.故二面角为.又直线与平面所成角为,因为,故.故,当且仅当重合时取等号.又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号.故.故选:A【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.10、A【解析】
先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出,判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上单调递减.当时,,且,所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、A【解析】
根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】,,,,即,故选:A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算,属于容易题.12、A【解析】
作交于点,根据向量比例,利用三角形面积公式,得出与的比例,再由与的比例,可得到结果.【详解】如图,作交于点,则,由题意,,,且,所以又,所以,,即,所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合,三角形面积公式,属基础题,作出合适的辅助线是本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,考查数形结合思想的应用,属于基础题.14、【解析】
根据抛物线,不妨设,取,通过求导得,,再根据以线段为直径的圆恰好经过,则,得到,两式联立,求得点N的轨迹,再求解最值.【详解】因为抛物线,不妨设,取,所以,即,所以,因为以线段为直径的圆恰好经过,所以,所以,所以,由,解得,所以点在直线上,所以当时,最小,最小值为.故答案为:2【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15、【解析】
利用导数的几何意义计算即可.【详解】由已知,,所以,又,所以切线方程为,即.故答案为:【点睛】本题考查导数的几何意义,考查学生的基本计算能力,要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别,是一道容易题.16、【解析】
利用导数的几何意义可求得函数在处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可.【详解】解:由条件得到又所以函数在处的切线为,即圆方程整理可得:即有圆心且所以圆心到直线的距离,即.解得或,故答案为:.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)由题,得,,解方程组,即可得到本题答案;(Ⅱ)设直线,则直线,联立,得,联立,得,由此即可得到本题答案.【详解】(Ⅰ)由题可得,即,,将点代入方程得,即,解得,所以椭圆的方程为:;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,设直线,则直线,联立,整理得,所以,联立,整理得,设,则,所以,所以.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题,考查学生的运算求解能力.18、(1)见解析(2)(3)【解析】
(1)若函数有局部对称点,则,即有解,即可求证;(2)由题可得在内有解,即方程在区间上有解,则,设,利用导函数求得的范围,即可求得的范围;(3)由题可得在上有解,即在上有解,设,则可变形为方程在区间内有解,进而求解即可.【详解】(1)证明:由得,代入得,则得到关于x的方程,由于且,所以,所以函数必有局部对称点(2)解:由题,因为函数在定义域内有局部对称点所以在内有解,即方程在区间上有解,所以,设,则,所以令,则,当时,,故函数在区间上单调递减,当时,,故函数在区间上单调递增,所以,因为,,所以,所以,所以(3)解:由题,,由于,所以,所以(*)在R上有解,令,则,所以方程(*)变为在区间内有解,需满足条件:,即,得【点睛】本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.19、(1)见解析,(2)函数存在唯一零点.【解析】
(1)首先求出导函数,利用导数的几何意义求出处的切线斜率,利用点斜式即可求出切线方程,根据方程即可求出定点.(2)由(1)求出函数,令方程可转化为记,利用导数判断函数在上单调递增,根据,由零点存在性定理即可求出零点个数.【详解】所以直线方程为即,恒过点将代入直线方程,得考虑方程即,等价于记,则于是函数在上单调递增,又所以函数在区间上存在唯一零点,即函数存在唯一零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理,属于难题.20、;证明见解析.【解析】
当时,集合共有个子集,即可求出结果;分类讨论,利用数学归纳法证明.【详解】当时,集合共有个子集,所以;①当时,,由可知,,此时令,,,,满足对任意,都有,且;②假设当时,存在有序集合组满足题意,且,则当时,集合的子集个数为个,因为是4的整数倍,所以令,,,,且恒成立,即满足对任意,都有,且,综上,原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究,结合数学归纳法的应用,属于难题.21、【解析】
讨论和的情况,然后再分对称轴和区间之间的关系,最后求出最小值【详解】当时,,它在上是减函数故函数的最小值为当时,函数的图象思维对称轴方程为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为综上,【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值,二次函数
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