高中数学苏教版第一章立体几何初步点线面之间的位置关系（省一等奖）

1.２.４平面与平面的位置关系（一）教学目标1.了解两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定方法以及面与面平行的性质定理，并灵活运用面面平行的判定、性质定理。2.应用类比方法理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义，会求两个平行平面间的距离．3.通过线线、线面、面面平行的转化，进一步理解等价转化思想在解决立体几何问题中的运用，并提高空间想象能力．教学重点与难点本节课的重点是面与面平行的判定、性质的理解及应用．难点是线线平行、线面平行、面面平行的灵活转化．教学过程新课引入观察教室中的四周墙壁，这四个平面两两之间是什么关系？利用手中的两本书作为两个平面，摆一摆，两个平面具有哪几种位置关系？工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的（即桌面与地面平行），你知道其中的奥秘吗？数学建构1、学习指引研究三维空间中物体的位置关系是立体几何重要内容之一，以上问题涉及到两个平面之间的位置关系，你能够通过类比及转化，进一步研究两个平面之间的位置关系吗？在前面我们已经通过直线与直线、直线与平面的公共点个数，可判断它们的位置关系，类比思考两个平面之间的位置关系有哪几种？如何判断两个平面平行？思考：（1）、平面内有一条直线与平面平行，则，对吗？（2）、平面内有两条直线与平面平行，则，对吗？（3）、平面内有无数条直线与平面平行，则，对吗？（4）、平面内任意一条直线与平面平行，则，对吗？（5）、平面内有两条相交直线分别与平面平行，则，对吗？探究：判断两个平面平行的方法，还有哪些呢？如果两个平面平行，那么（1）、一个平面内的直线是否平行于另一个平面？（2）、分别在两个平面内的两条直线是否平行？回顾一下前面学习过的线线之间、线面之间距离的概念，思考两个平面在什么样的位置关系下，才会定义两平面之间的距离？学过本节后，你能否整理下在立几中有关“距离”的知识，并进行联系类比2、知识梳理（1）、两个平面互相平行的定义如果两个平面没有，我们就说这两个平面互相平行.如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个点的，我们说两平面相交（2）、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示aa图形表示（3）、两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.符号语言：AaAab简记为：线面平行面面平行（4）、两个平面平行的性质定理如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线符号语言：图形语言：证明：因为,所以a与b没有公共点因而交线a、b也没有公共点，又因为a、b都在平面内,所以a∥b.简记为：面面平行线线平行（5）、面面距离与两个平行平面的直线,叫做这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的.由两个平行平面的公垂线都相等,我们把公垂线的长度叫做两个平行平面间的数学应用类型一面面平行的判定例1如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行（要求同学画出图形、写出已知、求证）b，Aab，Aaba，A，‘‘，求证：☞分析：对于两个平面平行的判断，目前只有两个方法。一是面面平行的定义；二是面面平行的判定定理。前者要说明两个平面没有公共点，但这不易做到。选择后者，即要证明平面内的两条相交直线分别平行于平面，运用线面平行的判定定理，很容易得出这个结论。证明：同理，又所以，点评：本命题可以看作面面平行判定定理的推论；在今后判断面面平行时，此命题可以直接使用。思考：垂直于同一直线的两个平面平行．已知：．求证：总结有了以上命题，同学们可以总结一下证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明；（2）面面平行的判定定理：（3）在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行（4）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。（5）平行于同一个平面的两个平面平行。类型二面面平行的性质l例2．求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.l已知：求证：☞分析要证，只要证明垂直与平面内的任意一条直线或某两条相交直线.证明：设在平面内任取一条直线因为点不在平面内，所以点与直线可确定平面设由于直线是平面内的任意一条直线，所以点评本题是面面平行性质定理的一个运用，正是如此，我们才有两个平行平面公垂线的概念，进而定义两平行平面之间的距离。当然，本命题也可看作面面平行的一个性质。总结：事实上，两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，aα，则a∥β。（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行题型梳理类型三面面平行判定及性质的综合运用例3P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。求证：平面A′B′C′∥平面ABC；☞分析：证明两面面平行，一般情况转化通过线面平行或者线线平行来证。证明：取AB、BC的中点M、N，则∴A′C′∥MNA′C′∥平面ABC。同理A′B′∥面ABC，又A′B′A′C=A′∴面A′B′C′∥面ABC.点评本题的证明方法，体现了转化思想，即证面面平行，可通过线线平行或者线面平行进行。变式：在例3的条件下，求S△A′B′C′∶S△ABC的值。☞分析该问题是上面例3问题进一步的追问，在上面产生了△A′B′C′，自然想到两个三角形的面积之比。而此类问题，一般会联想三角形的相似。解答：所以，所以，，即同理，与相似，所以有小结：本题组既考察了面面平行的判断，又同时考察了面面平行性质的运用。在解决问题的过程中，我们看到立几问题的解决常常转化到同一个平面上来解决，即从三维空间向二维空间转化，这充分体现数学中的“化归思想”。总结反思知识要点空间两平面的位置关系（相交、平行）两个平行平面的判定定理（线面平行面面平行）两个平行平面的性质定理（面面平行线线平行）两个平行平面的公垂线的概念，公垂线段的概念以及两个平行平面间的距离思想方法用类比的思想去认识面面的位置关系（根据两个对象公共点的个数）注意运用线线、线面、面面之间的平行关系相互转化，可以给我们明确解题方向。反证法是立几证明中的常用方法，怎样将反证法用得“妙”、用得“巧”，还需要在实践中不断感悟。注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化规律技法面面平行的判定方法，教材中注重介绍了“面面平行的判定定理”，事实上，要证明两平面平行选择角度有多种，常用方法五种（见上）。面面平行的性质运用，教材中注重介绍了“面面平行的性质定理”，事实上，两平面平行可得出常用五条性质（见上）。说明：以上规律方法，给我们解题提供多种思路，只有在解决问题实践中，常反思、勤总结，才能做到游刃有余、事半功倍。细节注意在运用面面平行的判定和性质定理时，要注意推理证明的严谨性，譬如运用判定定理证明面面平行，应该有以下条件：，如果在证明书写过程中，忽略了这个条件，其推理过程很不严谨。以上细节看似无关紧要，实则非常关键。无论解题还是证明，一定要注意对文字语言、图形语言和符号语言进行相互转化和相互翻译，使三者之间相辅相成、相得益彰。课后作业：1．下列命题中正确的是．①平行于同一直线的两平面平行；②平行于同一平面的两平面平行；③垂直于同一直线的两平面平行；④与同一直线成等角的两平面平行．2.若，则a与b的位置关系为3.下列命题中正确的是．①经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；②过平面外一点且平行于这个平面的所有直线，都在过该点且平行于这个平面的一个平面内；③平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与平行或相交；④夹在两平行平面之间的