高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 第三章章末复习课

第三章章末复习课学案编号：GEXX2-1T3-zmfxk题型一空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．例1如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①eq\o(SA,\s\up14(→))＋eq\o(SB,\s\up14(→))＋eq\o(SC,\s\up14(→))＋eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up14(→))＋eq\o(SB,\s\up14(→))－eq\o(SC,\s\up14(→))－eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up14(→))－eq\o(SB,\s\up14(→))＋eq\o(SC,\s\up14(→))－eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；④eq\o(SA,\s\up14(→))·eq\o(SB,\s\up14(→))＝eq\o(SC,\s\up14(→))·eq\o(SD,\s\up14(→))；⑤eq\o(SA,\s\up14(→))·eq\o(SC,\s\up14(→))＝0，其中正确结论的序号是________．跟踪1如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1题型二利用空间向量证明空间中的位置关系向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下．1．线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2．线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b⇔a·b＝0.3．线面平行用向量证明线面平行的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量用直线的方向向量线性表示．4．线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．5．面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．6.面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．例2如图，已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1求证：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.跟踪2如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．题型三利用空间向量求空间角1．求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.2．求二面角的大小如图，设平面α、β的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β 所成的锐二面角θ，所以cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.3．求斜线与平面所成的角如图，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n1，n2〉|.例3如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；(3)求二面角A—EB—C的大小．跟踪3如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1B(1)证明：AB＝AC；(2)设二面角A—BD—C为60°，求B1C与平面BCD【课堂小结】空间向量的引入拓展了解决立体几何问题的思路，我们可以通过建立合理的空间直角坐标系，直接利用空间向量的坐标运算进行求解，这也是空间几何体数字化的一个特征．章末检测一、选择题1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则()A．α⊥β B．α∥βC．α与β相交但不垂直 D．以上都不对3．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为()A．0°B．45°C．90°D．180°4.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则用向量a，b，c可表示向量eq\o(BD1,\s\up6(→))等于()A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c5．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是()A．cosθ＝eq\f(n·a,|n||a|)B．cosθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)C．sinθ＝eq\f(n·a,|n||a|)D．sinθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)6．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定7．在以下命题中，不正确的个数为 ()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面；④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2B．3C．4D．18.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是 ()\o(PC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→)) \o(DA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))\o(PD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→)) \o(PA,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))9．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是()A．0B．2C．4D．610.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD与面M成30°角，则C、D间的距离为()A．1B．2\r(2) \r(3)11．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC、AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为()，A．a2\f(1,2)a2\f(1,4)a2\f(\r(3),4)a212.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(A．45° B．60°C．90° D．120°二、填空题13．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，则λ＝________.14．已知A(2,1,0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3，－1,2)则点B的坐标是________．15．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．16.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ(θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面N内，BC在l上，CD在平面M内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．三、解答题17.已知四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，如图，M是PC的中点，问向量eq\o(PA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MD,\s\up6(→))是否可以组成一个基底，并说明理由．18.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1D1AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，试证明ME∥NF.19.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1点，CP＝m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点