高中数学北师大版第二章解析几何初步单元测试学业分层测评22

学业分层测评(二十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．圆O1：x2＋y2＋2x＋4y＋3＝0与圆O2：x2＋y2－4x－2y－3＝0的位置关系是()A．内切 B．外切C．相交 D．相离【解析】圆O1：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2，圆O2：(x－2)2＋(y－1)2＝8，∴|O1O2|＝eq\r(－1－22＋－2－12)＝3eq\r(2)＝r1＋r2.【答案】B2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0【解析】圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．【答案】A3．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦长为()\r(5) \r(6)C．2eq\r(5) D．2eq\r(6)【解析】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3eq\r(5)，因此，公共弦长为2eq\r(5\r(2)2－3\r(5)2)＝2eq\r(5).【答案】C4．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36【解析】设圆心坐标为(a，b)，∵半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，结合图形(图略)可得b＝6，又两圆内切，则两圆圆心的距离为半径之差，eq\r(a2＋32)＝5解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.【答案】D5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9【解析】设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则eq\r(x－52＋y＋72)＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则eq\r(x－52＋y＋72)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.【答案】D二、填空题6．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1.))【答案】(－1,0)和(0，－1)7．已知两圆相交于两点A(1,3)和B(m,1)，且两圆的圆心都在直线x－y＋eq\f(c,2)＝0上，则m＋c的值是________．【解析】由条件知，两点A(1,3)和B(m,1)的垂直平分线方程就是直线x－y＋eq\f(c,2)＝0，∴AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)，2))在直线x－y＋eq\f(c,2)＝0上，即eq\f(1＋m,2)－2＋eq\f(c,2)＝0，即m＋c＝3.【答案】38．已知圆O的方程是x2＋y2－2＝0，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．【解析】圆O的圆心为O(0,0)，半径r＝eq\r(2)；⊙O′的圆心为O′(4,0)，半径r′＝eq\r(6).设点P(x，y)，由切线长(用勾股定理表示切线长)相等得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，即x＝eq\f(3,2)，这就是动点P的轨迹方程．【答案】x＝eq\f(3,2)三、解答题9．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解】设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0 ①，已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0 ②，②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.10．求过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且圆心在直线x－eq\r(3)y－6＝0上的圆的方程.【导学号：10690068】【解】法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\r(3)，))因为点(1,eq\r(3))和(1，－eq\r(3))都在直线x＝1上，故过这两个点的圆的圆心在x轴上，又圆心在直线x－eq\r(3)y－6＝0上，∴圆心为(6,0)，半径r＝eq\r(6－12＋\r(3)2)＝eq\r(28)，∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝28.法二：设所求圆的方程为：x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)．整理得：x2＋y2－eq\f(4λ,1＋λ)x－eq\f(4,1＋λ)＝0，∵圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2λ,1＋λ)，0))在直线x－eq\r(3)y－6＝0上，∴eq\f(2λ,1＋λ)－6＝0，解得λ＝－eq\f(3,2)，∴所求圆的方程为x2＋y2－12x＋8＝0.[能力提升]1．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．3eq\r(5)－5 D．3eq\r(5)＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3eq\r(5)－5.【答案】C2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．4eq\r(2)C．8 D．8eq\r(2)【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17，∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝eq\r(a－b2＋a－b2)＝eq\r(32×2)＝8.【答案】C3．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．【解析】曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq\r(2).过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为eq\f(5\r(2)－3\r(2),2)＝eq\r(2)，则圆C2的半径长为eq\r(2).设C2的坐标为(x0，y0)，则eq\f(|x0＋y0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝24．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的方程；(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．【解】(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意；②若直线l1的斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即eq\f(|3k－4－k|,\r(k2＋1))＝2