高中数学人教A版4本册总复习总复习 优质课奖

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M的直角坐标是(－1，eq\r(3))，则点M的极坐标为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)解析：点M的极径是2，点M在第二象限，故点M的极坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3))).答案：C2．过点P(4，3)，且斜率为eq\f(2,3)的直线的参数方程为()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(3,\r(13))t，,y＝3＋\f(2,\r(13))t))(t为参数)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(3,\r(13))t，,y＝4＋\f(2,\r(13))t))(t为参数)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(2,\r(13))t，,y＝3＋\f(3,\r(13))t))(t为参数)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(2,\r(13))t，,y＝4＋\f(3,\r(13))t))(t为参数)解析：因为倾斜角α满足tanα＝eq\f(2,3)，所以sinα＝eq\f(2,\r(13))，cosα＝eq\f(3,\r(13))，所以所求参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(3,\r(13))t，,y＝3＋\f(2,\r(13))t))(t为参数)．答案：A3．曲线ρcosθ＋1＝0关于直线θ＝eq\f(π,4)对称的曲线的方程是()A．ρsinθ＋1＝0 B．ρcosθ＋1＝0C．ρsinθ＝2 D．ρcosθ＝2解析：因为M(ρ，θ)关于直线θ＝eq\f(π,4)的对称点是Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ，\f(π,2)－θ))，从而所求曲线方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋1＝0，即ρsinθ＋1＝0.答案：A4.如图所示，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4，0，5)，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,2)，5))，则此长方体外接球的体积为()\f(77\r(77)π,3) \f(77\r(77)π,6)\f(77\r(77)π,4) \f(77\r(77)π,12)解析：A1，C1的直角坐标分别为A1(4，0，5)，C1(0，6，5)，所以OA＝6，OC＝4，OO1＝5，所以长方体外接球的半径R＝eq\f(1,2)eq\r(42＋62＋52)＝eq\f(1,2)eq\r(77).所以外接球体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\r(77)))eq\s\up12(3)＝eq\f(77\r(77),6)π.答案：B5．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为()A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：ρ(ρcosθ－1)＝0，ρ＝eq\r(x2＋y2)＝0或ρcosθ＝x＝1.答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝4sinθ的两个圆的圆心距是()A．2\r(2)C．5\r(5)解析：ρ＝2cosθ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sinθ是圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是eq\r(5).答案：D7．下列点是曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ＋sinθ))(θ为参数)上的点的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\r(3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(3)))解析：曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ＋sinθ))(θ为参数)的普通方程为y2＝1＋x，验证各选项，知选B.答案：B8．已知在极坐标系中，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3,4)π))，O(0，0)，则△ABO为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形解析：因为∠AOB＝eq\f(π,4)，|OA|＝eq\r(2)|OB|，所以△ABO为等腰直角三角形．答案：D9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ，,y＝\f(2,cosθ)))(θ为参数)所表示的图形分别是()A．直线、射线和圆 B．圆、射线和双曲线C．两直线和椭圆 D．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ，,y＝\f(2,cosθ)))(θ为参数)化为普通方程为eq\f(y2,4)－x2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝at，,y＝a2t－1))(t为参数)，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，且它们总有公共点．则a的取值范围是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))∪(0，＋∞)B．(1，＋∞)\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，4))解析：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(at＝1＋cosθ，,a2t－1＝2sinθ，))则4(at－1)2＋(a2t－1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0Δ＝4a2(a＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2直线l与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，即a≥－eq\f(3,2).答案：C11．已知圆锥曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ是参数)和定点A(0，eq\r(3))，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF2的极坐标方程为()A．ρcosθ＋eq\r(3)ρsinθ＝eq\r(3)B．ρcosθ－eq\r(3)ρsinθ＝eq\r(3)\r(3)ρcosθ＋ρsinθ＝eq\r(3)\r(3)ρcosθ－ρsinθ＝eq\r(3)解析：圆锥曲线为椭圆，c＝1，故F2的坐标为(1，0)，直线AF2的直角坐标方程是x＋eq\f(y,\r(3))＝1，即eq\r(3)x＋y＝eq\r(3)，化为极坐标方程就是eq\r(3)ρcosθ＋ρsinθ＝eq\r(3).答案：C12．点P(x，y)是曲线3x2＋4y2－6x－8y－5＝0上的点，则z＝x＋2y的最大值和最小值分别是()A．7，－1B．5，1C．7，1D．4，－1解析：将原方程配方得eq\f(（x－1）2,4)＋eq\f(（y－1）2,3)＝1，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝1＋\r(3)sinθ))(θ为参数)，则x＋2y＝3＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，所以当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1时，(x＋2y)max＝7，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝－1时，(x＋2y)min＝－1.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))关于直线ρcosθ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))关于直线ρcosθ＝1的对称点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))14．已知圆的渐开线的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ＋3φsinφ，,y＝3sinφ－3φcosφ))(φ为参数)，当φ＝eq\f(π,4)时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝eq\f(π,4)时，代入渐开线的参数方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cos\f(π,4)＋3·\f(π,4)·sin\f(π,4)，,y＝3sin\f(π,4)－3·\f(π,4)·cos\f(π,4)，))x＝eq\f(3\r(2),2)＋eq\f(3\r(2)π,8)，y＝eq\f(3\r(2),2)－eq\f(3\r(2)π,8)，所以当φ＝eq\f(π,4)时，对应的曲线上的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2)π,8)，\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2)π,8))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2)π,8)，\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2)π,8)))15．极坐标系中，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,6)))到直线l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距离是________．解析：点P的直角坐标是(eq\r(3)，－1)，直线l的直角坐标方程是x－eq\r(3)y＋2＝0，故点P到直线l的距离为eq\f(|\r(3)＋\r(3)＋2|,2)＝eq\r(3)＋1.答案：eq\r(3)＋116．在直角坐标系Oxy中，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴端点，则a＝________.解析：椭圆C的普通方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l的直角坐标方程为x－eq\r(3)y－eq\r(3)＝0，令x＝0，则y＝－1，令y＝0，则x＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度．解：(1)曲线C1：ρ＝6cosθ即ρ2＝6ρcosθ，所以x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.曲线C2：θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)表示直线，其直角坐标方程为y＝x.(2)因为圆心(3，0)到直线的距离d＝eq\f(3\r(2),2)，r＝3，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝3eq\r(2).18．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝1＋cos2α))(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．解：因为直线l的极坐标方程为θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)，所以直线l的直角坐标方程为y＝eq\r(3)x，①因为曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝1＋cos2α))(α为参数)，所以曲线C的普通方程为y＝eq\f(1,2)x2(x∈[－2，2])，②联立①②可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)，,y＝6，))根据x的取值范围应舍去eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)，,y＝6，))故P点的直角坐标为(0，0)．19．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．解：(1)由ρ＝2cosθ，得：ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))得x＝eq\r(3)y＋m，即x－eq\r(3)y－m＝0，所以直线l的普通方程为x－eq\r(3)y－m＝0.(2)设圆心到直线l的距离为d，由(1)可知直线l：x－eq\r(3)y－2＝0，曲线C：(x－1)2＋y2＝1，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l的距离为d＝eq\f(|1－\r(3)×0－2|,\r(1＋（\r(3)）2))＝eq\f(1,2).所以|AB|＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3).因此|AB|的值为eq\r(3).20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，P、Q分别为直线l与x轴、y轴的交点，线段PQ的中点为M.(1)求直线l的普通方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标和直线OM的极坐标方程．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，消参得eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0，所以直线l的普通方程为eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0.(2)当y＝0时，x＝2，所以点P的直角坐标为(2，0)．当x＝0时，y＝2eq\r(3)，所以点Q的直角坐标为(0，2eq\r(3))．所以线段PQ的中点M的直角坐标为(1，eq\r(3))．因为eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，且点M在第一象限，所以点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，所以直线OM的极坐标方程为θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝－1＋2\r(2)t))(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值．解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(7π,4))).(2)直线l的普通方程为2eq\r(2)x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2\r(2)＋1－1|,3)＝eq\f(2\r(2),3)，所以|AB|＝2eq\