高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）单元测试 精品获奖

第二章本章诊疗一、精要总结1．为什么在指数函数中规定“”？答：这样规定的出发点是：使函数的定义域为R；同时使函数具有单调性。⑴如果，则，一方面对没有什么意义，且时，没有太大的研究价值。⑵若，则对的某些取值没有意义，如：，则，在等时都无意义。⑶若时，它的定义域、值域、对应法则都是一目了然，再深入研究没有意义。2．对于指数式子大小的比较常用如下方法：比较幂值的大小常常化为同底数的幂，根据指数的单调性比较大小．如果不能化为同底数的幂，则要借助幂值的范围利用中间量进行比较（如常选0，1作中间量）．3．在学习对数函数的性质时一定要注意以下几点：（1）在求定义域时，要考虑真数大于0，同时还要注意底数大于0且不等于1．（2）比较两对数值的大小时，若同底，则根据对数函数的单调性；若不同底，则可考虑化为同底或用中间值比较．（3）通过上表可看出对数函数的图象与对数函数的性质之间具有下列的对应关系：①图象位于轴右侧（这是由定义域决定的），且以轴为渐近线即对数函数的定义域>0；②曲线向上、向下无限延展，即对数函数的值域为R；③曲线恒过点（1，0），即对于对数函数来说当=1时，=0；④>1时，曲线逐渐上升，即当>1时，函数在定义域上单调递增；0<<1时，曲线逐渐下降，即当0<<1时，函数在定义域上单调递减．4．比较两个对数的大小时，有这几种思路①底同真不同，考虑单调性；②若底不同，真数相同，可考虑图象的分布规律（当底数都大于1时，图象在右侧，底大图低（即对数值随着底数的增大而减小）；当底数都大于0且小于1时，图象在右侧，底大图低（即对数值随着底数的增大而减小））；③当底数与真数都不同时，可借助中间量；或利用图象进行比较，或通过作差（商）等方法进行比较。二、错例剖析1．对指数函数的值域重视不够致误例1求函数的值域.错解：设，则，所以故函数函数的值域为剖析：设，却忽略了隐含条件，即新变量的取值范围是，而不是正解：设，则，且结合二次函数的图象，得，故函数函数的值域为2．考虑问题不全面致误例2函数，且在上的最大值比最小值大，求的值.错解：因为，且是单调函数，所以当时有，解得剖析：错解仅考虑到时的情况，而忽略了的讨论.正解：因为，且是单调函数，所以当时有，解得当时有，解得故所求的值为或3．对指数函数的图象理解有误致错例3指数函数的图象在同一个坐标系内图象如图1所示，则底数的大小关系是（） A．B．C．D．错解:选A或B或D剖析：由指数函数的解析式可知，当时，．于是，可以在图1中，画出直线函数的交点，则交点的纵坐标分别是（如图2所示），由图可以得到底数的大小关系满足，故选C．正解：C；点评：从指数函数解析式这一“数”的特点——当时，，得到了指数函数“形”的特点——过点，并依据这一图象特点解决了4．求解对数函数定义域中的错误例4求函数y=的定义域。错解：由得即故所以函数y=的定义域为（﹣∞，6。剖析：错解中忽视了真数大于零的限制条件。正解：由得-2故函数y=的定义域为（-2，6]。5．求解对数函数值域中的错误例5已知函数的值域为R，求a的取值范围．错解：要使则有恒成立，于是，有，解之得所以a的取值范围为。剖析：上述错解是因为对数函数理解不清所致，由对数函数定义知：当x＞0时，y=logax∈R，即当x取遍大于零的全体实数时，相应函数值取遍全体实数．所以说要使y∈R，则u=ax2+2x+3的值域必须包含全体正数．正解：（1）a=0时，显然y∈R；（2），解之得所以a的取值范围为6．忽视对数的底数忘讨论例6已知f(x)＝loga(x2-3x+2)，g(x)=loga(2x2-5x+2)(a>0,且a≠1)，若f(x)＞g(x)，求x的取值范围．错解：∵f(x)＞g(x)，∴loga(x2-3x+2)＞loga(2x2-5x＋2），故x2-3x+2>2x2-5x+2，即x2-2x<0，∴0<x＜2．剖析：产生错解的原因有两点：一是忽略了底数a的取值影响x的取值；二是忽略了真数必须大于0.正解：当a>1时，等价于当时，等价于或7．判断对数函数单调性中的错误例7求函数的单调递减区间。错解1：由在R上的单调递减，所以的单调递减区间为R。错解2：令，则当时，是增函数，所以函数的单调递减区间为。剖析：上述错解1生搬硬套了函数在R上单调递减这一性质；错解2忽视了函数的单调区间须在函数定义域内进行研究，即单调区间是定义域的子集。正解：得函数的定义域为令，则当时，是增函数，所以函数的单调递减区间为。8．理解幂函数概念有偏差致误例8已知幂函数，则幂函数。错解：因为为幂函数，所以，解得，或。当时，，适合；当时，，在上为常函数，不合题意，舍去，故所求幂函数为。剖析：事实上幂函数为，当时，也是为幂函数。正解：上面的解法加上这种情形，最后的结论应该为或。9．考虑幂函数问题不全面致误例9已知幂函数是偶函数且在区间（0，+∞）是单调减函数，求函数f(x)的解析式。错解：因为f(x)在（0，+∞）上是减函数，所以＜0，所以-1＜m＜3,又。当时，当时，，当时，。剖析：依据f(x)在（0，+∞）上是减函数，求得后，因为没有注意其他限制条件而得出或正解：由错解求出知，当时，当时，都不是偶函数，所以当时，是偶函数，故所求函数f(x)的解析式为10．混同幂函数的性质与指数函数的性质致误例10比较大小：。错解：∵＜,∴＜＜1,又∵＜,∴＞＞1∴＞＞1＞＞＞1剖析：本题中前两数比较用指数函数单调性，后两数比较用幂函数的单调性，比较时往往容易混同造成错解正解：∵＜,由指数函数的性质可知：1＜＜，又∵＜,由幂函数的性质可知：＜＜1。故＜＜1＜＜。11．忽视隐含条件导致误例11已知幂函数的图象与坐标轴不相交，且关于轴对称，求m的值。错解：由己知，得＜0即＜0，解得当时，=-3。当时，=-4。当时，=-3因为函数图象关于轴对称，所以=-4即。剖析：幂函数与坐标轴不相交时，忽视了隐含条件α=0这种特殊情况正解：由题意得≤0，解得，又因为，所以当时，=0。当时，=-4均符合题意，所以或3。12．讨论幂函数性质致误例12讨论函数的定义域、奇偶性和单调性。错解：（1）因为指数可以取一切实数，所以的定义域是R；（2）由于，则该函数是非奇非偶函数；（3）该函数无法判断