高中数学高考一轮复习一轮复习 第五节 椭圆

课时作业(四十九)椭圆1．(多选)(2023·全国高三专题练习)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq\f(4,5)，则k的值为()A．－21 B．－eq\f(19,25)C．eq\f(19,25) D．21BD[①若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq\r(5－k)，则eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(5－k),3)＝eq\f(4,5)，解得k＝－eq\f(19,25)；②若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq\r(k－5)，则eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq\f(4,5)，解得k＝21.故选BD.]2．(2023·河北唐山一中月考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点为点(1，0)，则椭圆C的离心率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(2\r(2),3)B[由椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点的坐标为(1，0)，得a2－3＝1，解得a＝2(负值已舍去).所以椭圆C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故选B.]3．(2023·山西大同开学考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,18)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,10)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1D[因为△ABF2的周长为16，所以|BF2|＋|AF2|＋|BF1|＋|AF1|＝16.由椭圆的性质，得4a＝16，解得a＝4.又椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝eq\r(2)c＝4，解得c＝2eq\r(2).所以b2＝a2－c2＝8.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.故选D.]4．(多选)(2023·全国高三专题练习)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则该椭圆C的离心率e＝()A．eq\r(2)－1 B．eq\f(\r(3),3)C．eq\r(5)－2 D．eq\f(\r(5),3)CD[当∠PF2F1＝eq\f(π,2)时，设|PF2|＝2，则由于tan∠PF1F2＝2，∴|F1F2|＝1，|PF1|＝eq\r(5)，∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq\r(5)＋2，2c＝|F1F2|＝1，∴椭圆C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(1,\r(5)＋2)＝eq\r(5)－2，当∠F1PF2＝eq\f(π,2)时，设|PF2|＝2，则由于tan∠PF1F2＝2，∴|PF1|＝1，|F1F2|＝eq\r(5)，∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝3，2c＝|F1F2|＝eq\r(5)，∴椭圆C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(5),3).]5．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为()A．eq\f(4,3) B．1C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,4)D[由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得a＝2，c＝1，可知△ABF1的周长为4a＝8，△ABF1的面积为eq\f(1,2)|F1F2|×|yA－yB|＝eq\f(1,2)×2×3＝3＝eq\f(1,2)×8×r，解得r＝eq\f(3,4)，故选D.]6．已知椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________．解析：因为椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以eq\f(2b2,a)＝1，a＝2，所以椭圆方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.答案：eq\f(y2,4)＋x2＝17．已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，则实数m的值为________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋m，))消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(4m,3)，x1x2＝eq\f(2m2－2,3).由题意，得eq\r(2（x1＋x2）2－8x1x2)＝eq\f(4\r(2),3)，解得m＝±1.答案：±18．(2023·全国高二单元测试)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其上一点P(3，t)到两个焦点的距离分别为和，则该椭圆的离心率为________，方程为________________________．解析：设椭圆的左焦点为F1(－c，0)，右焦点F2(c，0)，点P(3，t)在椭圆上，由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝＋＝10，∴a＝5，∴|PF1|＝eq\r(（3＋c）2＋t2)，且eq\f(9,25)＋eq\f(t2,b2)＝1⇒t2＝eq\f(16,25)b2，于是得到|PF1|＝eq\r(（3＋c）2＋\f(16,25)b2)＝＝eq\f(13,2)，同理得|PF2|＝eq\r(（3－c）2＋\f(16,25)b2)＝＝eq\f(7,2)，联立两式可得到c＝eq\f(5,2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).b2＝a2－c2＝eq\f(75,4)，∴椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1.答案：eq\f(1,2)；eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝19．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，－eq\r(3))；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解析：(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t1或eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝t2(t1，t2>0)，因为椭圆过点(2，－eq\r(3))，所以t1＝eq\f(22,4)＋eq\f(（－\r(3)）2,3)＝2，或t2＝eq\f(（－\r(3)）2,4)＋eq\f(22,3)＝eq\f(25,12).故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,（2c）2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.10．(2023·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值．解析：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在，当且仅当eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2)，又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4.11．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆E的离心率e的取值范围是()A．(0，eq\f(\r(3),2)] B．(0，eq\f(3,4))C．(eq\f(\r(3),2)，1) D．[eq\f(3,4)，1)A[根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得：|AF|＋|BF|＝2a＝4，所以a＝2.设M(0，b)，因为d＝eq\f(|3×0－4×b|,\r(32＋（－4）2))≥eq\f(4,5)，所以1≤b＜2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(b2,4))，所以0<e≤eq\f(\r(3),2).故选A．]12．(2023·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B[由题意设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(2)，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选B.]13．(2023·福建福州适应性考试)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，以椭圆C的短轴为直径的圆与直线l：3x＋4y－5＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线y＝x＋m交椭圆C于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且x1>x2，已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，若P在直线MN的右下方，求m的值．解析：(1)依题意，b＝eq\f(|0＋0－5|,\r(32＋42))＝1，因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(\r(a2－1),a)＝eq\f(\r(6),3)，解得a＝eq\r(3)，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)因为直线y＝x＋m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN的右下方，所以NP∥x轴，如图，过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段的中点，所以Q(x1，y2)，故P(2x1－x2，y2)，所以3(2x1－x2)＋4y2－5＝0，即3(2x1－x2)＋4(x2＋m)－5＝0，整理得6x1＋x2＋4m－5＝0①，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝3，,y＝x＋m，))得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.所以Δ＝36m2－48m2＋48>0，解得－2<m<2，所以x1＋x2＝－eq\f(3,2)m②，x1x2＝eq\f(3,4)(m2－1)③，①－②得，x1＝1－eq\f(m,2)④，将④代入②得x2＝－1－m⑤，将④⑤代入③得(eq\f(m,2)－1)(m＋1)＝eq\f(3,4)(m－1)(m＋1)，解得m＝－1，所以m的值为－1.14．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的eq\r(2)倍，且过点(2，eq\r(2)).(1)求椭圆的标准方程；(2)若△OAB的顶点A，B在椭圆上，OA所在的直线斜率为k1，OB所在的直线斜率为k2，若k1·k2＝－eq\f(b2,a2)，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值．解析：(1)由已知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2\r(2)b，,\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝2，))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1>0，x2>0.由k1k2＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,2)得k2＝－eq\f(1,2k1)(k1≠0)，直线OA，OB的方程分别为y＝k1x，y＝k2x，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k1x，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))解得x1＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))))，同理，x2＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))))，所以x2＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2k1)))\s\up12(2)))＝eq\f(4|k1|,\r(1＋2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))).因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(1,2)x1x2＝eq\f(4\r(2)|k1|,1＋2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\f(4\r(2),\f(1,|k1|)＋2|k1|)≤eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2，当且仅当|k1|＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立．所以eq\o(OA,\s\up6