高中数学北师大版第二章平面向量 一等奖

17平面向量数量积的坐标表示时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7答案：D2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是()A．a·b＝1B．|a|＝|b|C．(a－b)⊥bD．a∥b答案：C解析：a·b＝2，选项A错误；|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，选项B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，选项C正确，故选C.3．已知向量a＝(0，－2eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，则向量a在b方向上的投影为()\r(3)B．3C．－eq\r(3)D．－3答案：D解析：向量a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－6,2)＝－3.选D.4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不等边三角形答案：C解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4,3)，cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1×－4＋1×3,\r(2)×\r(25))＝－eq\f(1,5\r(2))＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．5．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝7，那么n·eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．－2B．2C．－2或2D．0答案：B解析：n·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝n·eq\o(AB,\s\up6(→))＋n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝7，所以n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝7－n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝7－(6－1)＝2.6．与向量a＝(eq\f(7,2)，eq\f(1,2))，b＝(eq\f(1,2)，－eq\f(7,2))的夹角相等，且模为1的向量是()A．(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))B．(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))或(－eq\f(4,5)，eq\f(3,5))C．(eq\f(2\r(2),3)，－eq\f(1,3))D．(eq\f(2\r(2),3)，－eq\f(1,3))或(－eq\f(2\r(2),3)，eq\f(1,3))答案：B解析：设与向量a＝(eq\f(7,2)，eq\f(1,2))，b＝(eq\f(1,2)，－eq\f(7,2))的夹角相等，且模为1的向量为e＝(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1,\f(7,2)x＋\f(1,2)y＝\f(1,2)x－\f(7,2)y))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)，,y＝－\f(3,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,5)，,y＝\f(3,5)，))故选B.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝________.答案：eq\f(144,45)解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0,\o(AC,\s\up6(→))∥\o(AB,\s\up6(→))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y·－4，3＝－4x＋3y＝0,3x＋4y－12＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(36,25),y＝\f(48,25)))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝4x＝eq\f(144,25).8．已知向量a＝(1，eq\r(3))，2a＋b＝(－1，eq\r(3))，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.答案：eq\f(π,3)解析：∵a＝(1，eq\r(3))，2a＋b＝(－1，eq\r(3))，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cosθ＝eq\f(a·2a＋b,|a||2a＋b|)＝eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(π,3).9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<4))))解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2<0⇒(log2x＋1)(log2x－2)<0，所以－1<log2x<2，所以eq\f(1,2)<x<4.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x,3)．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，求实数x的值；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，求实数x的值．解析：(1)依题意，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x,3)，∴2×3－6x＝0，∴x＝1.(2)∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x,3)，∴2x＋6×3＝0，∴x＝－9.11．已知：a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b.按照下列条件求λ的值(1)m与n的夹角为钝角；(2)|m|＝|n|.解析：(1)因为m与n的夹角为钝角，所以m·n＜0，且m与n不共线．因为m＝a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，n＝2a＋b＝(7,8所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(74＋λ＋83－2λ＜0,84－λ－73－2λ≠0)).解得λ＞eq\f(52,9).(2)因为|m|＝|n|，所以eq\r(4＋λ2＋3－2λ2)＝eq\r(72＋82).整理可得5λ2－4λ－88＝0.解之得λ＝eq\f(2±2\r(111),5).12．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2).(1)若a⊥b，求α；(2)求|a＋b|的最大值．解析：(1)由已知，得a·b＝0，即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴α＝－eq\f(π,4).(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))).∵－eq\f(π,2)<α<