高中数学高考三轮冲刺 应用题（江都中学）

应用题ABb2a1.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,ABb2a问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).2.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.3.某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足f(n)＝eq\F(9A,a＋btn)，其中t＝2eq\o(,\d\fo()\s\up8(-eq\f(2,3)))，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．答案1.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=eq\f(k,ab) ，其中k为比例系数，且k>0，依题意，即所求的a,b值使y最小。据题意有：4b＋2ab＋2a=60(a>0,b>0)∴b=eq\f(30-a,2+a)(0<a<30)∴ab=a×eq\f(30-a,2+a)=eq\f(30a-aeq\s\up3(2),2+a)=―a＋32―eq\f(64,2+a)=34―(a＋2＋eq\f(64,a+2))≤34―2eq\r(,(a+2)·eq\f(64,a+2))=18当a＋2=eq\f(64,a+2)时取等号，y达到最小值。…8分此时解得a=6,b=3答：当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。………16分解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=eq\f(k,ab) ，其中k为比例系数，且k>0，依题意，即所求的a,b值使y最小。据题意有：4b＋2ab＋2a=60(a>0,b>0)即2b＋ab＋a=30∵a＋2b≥2eq\r(,2ab)∴30―ab=a＋2b≥2eq\r(,2ab)∴ab＋eq\r(,2ab)―30≤0…7分∵(a>0,b>0)∴0<ab≤18当a=2b时取等号，ab达到最大值18。…10分此时解得a=6,b=3答：当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。………16分2.答案（Ⅰ）由题意得，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.整理得.由题意，解得.故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元.3.解：（1）由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A．所以eq\b\lc\{(\a\al(eq\F(9A,a＋b)＝A，,eq\F(9A,a＋eq\F(1,4)b)＝3A，))解得a＝1，b＝8．……4分所以f(n)＝eq\F(9A,1＋8×tn)，其中t＝2eq\o(,\d\fo()\s\up8(-eq\f(2,3)))．令f(n)＝8A，得eq\F(9A,1＋8×tn)＝8A，解得tn＝eq\F(1,64)，即2eq\o(,\d\fo()\s\up8(-eq\f(2n,3)))＝eq\F(1,64)，所以n＝9．所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．……6分（2）由（1）知f(n)＝eq\F(9A,1＋8×tn)．第n年的增长高度为△＝f(n)－f(n－1)＝eq\F(9A,1＋8×tn)－eq\F(9A,1＋8×tn－1)．…………9分所以△＝eq\F(72Atn－1(1－t),(1＋8tn)(1＋8tn－1))＝eq\F(72Atn－1(1－t),1＋8tn－1(t＋1)＋64t2n－1)＝eq\F(72A(1－t),eq\F(1,tn－1)＋64tn＋8(t＋1))………………12分≤eq\F(72A(1－t),2eq\R(,64tn×eq\F(1,tn－1))＋8(t＋1))＝eq\F(72A(1－t),8(1＋eq\R(,t))2)＝eq\F(9A(1－eq\R(,t)),1＋eq\R(,t))．当且仅当64tn＝eq\F(1,tn－1)，即2eq