高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 2023版章末综合测评2圆锥曲线与方程

章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y＝－eq\f(1,8)x2的准线方程是()＝eq\f(1,32) ＝2＝eq\f(1,32) ＝－2【解析】将y＝－eq\f(1,8)x2化为标准形式为x2＝－8y，故准线方程为y＝2.【答案】B2.下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()【导学号：97792119】－eq\f(y2,4)＝1 \f(x2,4)－y2＝1－eq\f(y2,2)＝1 \f(x2,2)－y2＝1【解析】法一由渐近线方程为y＝±2x，可得eq\f(y,2)＝±x，所以双曲线的标准方程可以为x2－eq\f(y2,4)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(y2,4)－x2＝1，舍去)).法二A中的渐近线方程为y＝±2x；B中的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x；C中的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x；D中的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.故选A.【答案】A3.若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()\f(\r(7),3) \f(5,4)\f(4,3) \f(5,3)【解析】由双曲线的渐近线过点(3，－4)知eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(16,9).又b2＝c2－a2，∴eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(16,9)，即e2－1＝eq\f(16,9)，∴e2＝eq\f(25,9)，∴e＝eq\f(5,3).【答案】D4.抛物线y2＝eq\f(1,4)x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()【导学号：97792120】A.(1,0) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C.(0,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))【解析】∵y2＝eq\f(1,4)x的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))，∴关于直线y＝x对称后抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).【答案】B5.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq\r(5)，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()\f(x2,4)－y2＝1 －eq\f(y2,4)＝1\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 \f(3x2,5)－eq\f(3y2,20)＝1【解析】由题意得c＝eq\r(5)，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.【答案】A6.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()\r(3)p \r(3)p\r(3)p \r(3)p【解析】设A、B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x，,y2＝2px，))得y＝2eq\r(3)p，∴△AOB的边长为4eq\r(3)p.【答案】B7.已知|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up12(→))，则动点P的轨迹方程是()\f(x2,4)＋y2＝1 ＋eq\f(y2,4)＝1\f(x2,9)＋y2＝1 ＋eq\f(y2,9)＝1【解析】设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝eq\f(1,3)(0，y0)＋eq\f(2,3)(x0,0)，即x＝eq\f(2,3)x0，y＝eq\f(1,3)y0，所以x0＝eq\f(3,2)x，y0＝3y.因为|Aeq\o(B,\s\up12(→))|＝3，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝9，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x))2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1.【答案】A为过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的中心的弦F1为一个焦点，则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)() 【解析】△ABF1的面积为c·|yA|，因此当|yA|最大，即|yA|＝b时，面积最大.故选C.【答案】C9.若F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为() \f(7,2)\f(7,4) \f(7\r(5),2)【解析】|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6，则|AF2|＝6－|AF1|，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F＝|AF1|2－4|AF1|＋8，即(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，解得|AF1|＝eq\f(7,2)，所以S＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).【答案】B10.设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±eq\f(1,2) B.±eq\f(\r(2),2)C.±1 D.±eq\r(2)【解析】由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C∴eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.【答案】C11.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积是()\r(2) \r(2)\r(2) \f(3\r(2),2)【解析】如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2eq\r(2)，∴A(2,2eq\r(2))，∴直线AF的方程为y＝2eq\r(2)(x－1).联立直线与抛物线的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2).))由图知Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|yA－yB|＝eq\f(1,2)×1×|2eq\r(2)＋eq\r(2)|＝eq\f(3\r(2),2).【答案】D12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()\f(1,3) \f(1,2)\f(2,3) \f(3,4)【解析】如图所示，设OE的中点为N，在△AOE中，∵MF∥OE，∴eq\f(|MF|,|OE|)＝eq\f(|AF|,|AO|)＝eq\f(a－c,a). ①在△MFB中，∵ON∥MF，∴eq\f(|ON|,|MF|)＝eq\f(|BO|,|BF|)＝eq\f(a,a＋c)＝eq\f(\f(1,2)|OE|,|MF|)，∴eq\f(2a,a＋c)＝eq\f(|OE|,|MF|)，即eq\f(|MF|,|OE|)＝eq\f(a＋c,2a). ②由①②可得eq\f(a－c,a)＝eq\f(a＋c,2a)，解得a＝3c，从而得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.已知(2,0)是双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.【解析】由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)14.设F1，F2为曲线C1：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点，P是曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________.【解析】由题意知|F1F2|＝2eq\r(6－2)＝4，设P点坐标为(x，y).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，,\f(x2,3)－y2＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝±\f(3\r(2),2)，,y＝±\f(\r(2),2).))则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y|＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)15.已知圆锥曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________.【解析】曲线方程可化为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－m)＝1，因为m∈[－2，－1]，所以曲线表示双曲线，∴e＝eq\f(\r(4－m),2)，由m的取值范围得eq\f(\r(5),2)≤e≤eq\f(\r(6),2).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\f(\r(6),2)))16.已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为________.【解析】因为C1的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1，所以C1的一条渐近线的斜率k1＝eq\f(1,2)，所以C2的一条渐近线的斜率k2＝1，因为双曲线C1、C2的顶点重合，即焦点都在x轴上，设C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，所以a＝b＝2，所以C2的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.【答案】eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程.【解】由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,a2－25)＝1，双曲线方程为eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,25－b2)＝1(b>0).点P(3,4)在椭圆上，则eq\f(16,a2)＋eq\f(9,a2－25)＝1，得a2＝40，双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为y＝eq\f(b,\r(25－b2))x，即4＝eq\f(b,\r(25－b2))×3，得b2＝16.所以椭圆方程为eq\f(y2,40)＋eq\f(x2,15)＝1，双曲线方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.18.(本小题满分12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点，(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值.【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,y2＝8x))⇒x2＋(2m－8)x＋m2＝0⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝2m－82－4m2＞0，,x1＋x2＝8－2m，,x1x2＝m2.))|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝10，得m＝eq\f(7,16)，∵m＜2，∴m＝eq\f(7,16).(2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0，2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，2m2＋m(8－2m)＋m2＋8m＝0，m＝0或m经检验m＝－8.19.(本小题满分12分)已知双曲线过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\r(2)，4))，它的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x.(1)求双曲线的标准方程；(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝41，求∠F1PF2的余弦值.【解】(1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－3eq\r(2)的点P′的纵坐标的绝对值为4eq\r(2).∵4eq\r(2)>4，∴双曲线的焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.∵双曲线过点P(－3eq\r(2)，4)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(16,b2)＝1. ①又eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)， ②由①②，得a2＝9，b2＝16，∴所求的双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1·d2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d1－d2|＝2a由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(d\o\al(2,1)＋d\o\al(2,2)－|F1F2|2,2d1d2)＝eq\f(d1－d22＋2d1d2－|F1F2|2,2d1d2)＝eq\f(9,41).20.(本小题满分12分)设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq\f(\r(5),10).(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【导学号：97792121】【解】(1)由题设条件知，点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(1,3)b))，又kOM＝eq\f(\r(5),10)，从而eq\f(b,2a)＝eq\f(\r(5),10).进而a＝eq\r(5)b，c＝eq\r(a2－b2)＝2b，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(b,2)))，可得eq\o(NM,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)，\f(5b,6))).又eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－a，b)，从而有eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(NM,\s\up12(→))＝－eq\f(1,6)a2＋eq\f(5,6)b2＝eq\f(1,6)(5b2－a2).由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(NM,\s\up12(→))＝0，故MN⊥AB.21.(本小题满分12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为eq\f(\r(2),2)b.(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标.【解】(1)由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及b＝eq\r(1－e2)a，得直线FA的方程为eq\f(x,－ae)＋eq\f(y,\r(1－e2)a)＝1，即eq\r(1－e2)x－ey＋aeeq\r(1－e2)＝0.因为原点O到直线FA的距离为eq\f(\r(2),2)b＝aeeq\r(1－e2)，所以eq\f(\r(2),2)eq\r(1－e2)·a＝aeeq\r(1－e2)，解得e＝eq\f(\r(2),2).(2)设椭圆C的左焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0))关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋\f(\r(2),2)a)＝\f(1,2)，,2·\f(x0－\f(\r(2),2)a,2)＋\f(y0,2)＝0，))解得x0＝eq\f(3\r(2),10)a，y0＝eq\f(2\r(2),5)a.因为P在圆x2＋y2＝4上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\