高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 公开课奖2

第二章2.4.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m即切线方程为2x－y－1＝0.答案：D2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无穷多条 D．不存在解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B3．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A．2eq\r(17) \r(17)C．2eq\r(15) \r(15)解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A，B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.又eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k＋2,k2)＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋22)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(542－4)＝2eq\r(15).答案：C4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()\f(1,3) \f(\r(2),3)\f(2,3) \f(2\r(2),3)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,y2＝8x))，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4. ①∵|FA|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋eq\f(p,2)＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2. ②由①②得x2＝1，∴B(1,2eq\r(2))，代入y＝k(x＋2)，得k＝eq\f(2\r(2),3).答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴设AB：y＝x－eq\f(p,2)，与y2＝2px联立，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.答案：26．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为eq\f(5,2)，因此点M到抛物线准线的距离为eq\f(5,2)＋1＝eq\f(7,2).答案：eq\f(7,2)三、解答题(每小题10分，共20分)7．k取何值时，直线y＝2x＋k与抛物线y2＝4x无交点？解析：把抛物线y2＝4x与直线y＝2x＋k联立方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋k,y2＝4x))，消去y整理得4x2＋(4k－4)x＋k2＝0，Δ＝(4k－4)2－4×4×k2<0解得k>eq\f(1,2).综上，当k>eq\f(1,2)时直线与抛物线没有交点．8．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在P点被平分，求这条弦所在直线方程．解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所求直线方程为y－1＝k(x－4)，∵P1，P2在抛物线上，∴yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2) ①将y1＋y2＝2代入①得k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝3，∴直线方程为3x－y－11＝0.9．(10分)已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若△OAB的面积为eq\r(10)，求k的值；(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝－x))，化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－eq\f(2k2＋1,k2)，x1x2＝1.由弦长公式，得|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(1,k4)＋\f(4,k2))，由点到直线距离公式得d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)＝eq\r(10)，解得k＝±eq\f(1,6).(2)证明：由(1)可得kOA＝eq\f(y1,x1)，kOB＝eq\f(y2,x2)，kOA·kOB＝eq\f(y1y2,x1x2).∵yeq\o\al(2,1)＝－x1，yeq\o\al(2,2)＝－x2，∴x1x2＝(