模糊控制基础知识

模糊控制基础知识补充：模糊数学基础知识1.模糊集合及其运算

(1)模糊集合①隶属函数：用于描述模糊集合，并在[0，1]闭区间连续取值的特征函数.Ex1青年集合A经典集合:模糊集合：图1青年的特征函数和隶属函数

a)特征函数b)隶属函数②常用的隶属函数a.三角型隶属函数的解析式隶属函数曲线图如图2a所示。b.正态型隶属函数的解析式隶属函数曲线图如图2a所示。μA

1-

0bacxAμA

1-

0axA(b)

图2隶属函数曲线图

③模糊集合的定义定义1：给定论域X,是X中的模糊集合是指用这样的隶属函数表示其特征的集合。

④模糊集合的表示形式

i(1)iiX连续(2)X离散Ex1

青年模糊集合

Ex2设论域X={1，2，3，4，5}，可定义X上的如下模糊集，A表示“大”，B表示“小”，C表示“中”，并设各元素的隶属函数分别为

论域X是离散的，则A可表示为(2)模糊集合的运算①等集：②子集：③空集：④并集：⑤交集：⑥补集：Ex3设论域，A和B是论域X上的两个模糊集合，已知2.模糊语言定义2语言变量是以五元组（x,T(x),X,G,M)来表征的，其中x是变量的名称，

T(x)是语言变量值的集合，每个语言变量值是定义在论域X上的一个模糊集合，G是用以产生语言变量x值名称的语法规则，而M是语义规则，用以产生模糊集合的隶属度函数。Ex4xT(x)X图3模糊语言变量的五元体3模糊关系(1)模糊关系的定义设X、Y为两非空集合，各任取一元素组成序对(x,y)，称所有序对构成的集合为X和Y的直积，并记为：定义：从X到Y的模糊关系R是指在直积XxY中的一个模糊子集，其模糊关系由隶属函数：来刻划，隶属度表示序对(x,y)具有关系R的程度。

当X,Y是有限的离散集合时，X和Y的模糊关系R可以用矩阵表示，称为关系矩阵，即Ex5设X为横轴，Y为纵轴，直积即整个平面。模糊关系“x远远大于y”的隶属函数确定为

在X中取10，20，40，80四个点，在Y中取10，20，30，40四个点，则模糊关系矩阵为（2）模糊关系的运算模糊关系是积空间上的模糊集合，它的运算法则与一般的模糊集合完全相同。

a.合成运算合成定义：设X、Y、Z是论域，R是X到Y的一个模糊关系，S是Y到Z的一个模糊关系，则R到S的合成T也是一个模糊关系，记为它具有隶属度Max-mincompositionEx6

已知模糊关系矩阵b.幂运算设R是上的模糊关系，则它的模糊关系矩阵为方阵，R的幂定义为：c.逆运算设R是X到Y的模糊关系，则其逆模糊关系是Y到X的一个模糊关系，其隶属函数为

Ex7设X为横轴，Y为纵轴，直积即整个平面。模糊关系“y远远小于x”的隶属函数确定为(3)模糊关系的性质设R是上的模糊关系自反性：若，都有；对称性：若，都有；传递性：若有；等价性：若R同时具有自反性、对称性和传递性，R具有等价性4模糊推理广义前向推理（abbrev.GMP)

大前提：如果X是A，则Y是B

小前提：X是A’

结论：Y是B’

广义反向推理（abbrev.GMT)

大前提：如果X是A，则Y是B

小前提：Y是B’

结论：X是A’模糊推理中的前提和结论都含有模糊概念的陈述句称为模糊命题。模糊命题中常用到极、很、相当、比较、略、微等副词修饰程度，这些词称为语气算子。如：

（1）模糊蕴含

模糊命题：“如果x是

A，则

y是B”，表示模糊集合A和B之间有蕴含关系：用模糊关系矩阵表示：一些常见的模糊规则的关系矩阵的表达式：如果x为A，则y为B,否则y为C，：如果x为A，y为B,则z为C：如果x为A，y为B,z为C，否则z为D

：Ex8设论域上的模糊集合分别为：“小”=。模糊关系“如果x为小，则y为大”的模糊关系矩阵为：Ex9设论域，已知模糊集合模糊规则“如果x为A，并且y为B，则z为C”的关系矩阵R为：

广义前向推理：广义反向推理：练习：在Ex9中，若已知求C’4.36模糊控制系统框图4.5.1模糊控制系统的组成4.5.2模糊控制器的输入输出变量及其模糊化1．模糊控制器的输入、输出变量模糊控制器的输入变量通常取E或E和EC或E，EC和ER，分别构成所谓一维、二维、三维模糊控制器。一维模糊控制器的动态性能不佳，通常用于一阶被控对象；二维模糊控制器的控制性能和控制复杂性都比较好，是目前广泛采用的一种形式。一般选择控制量的增量作为模糊控制器的输出变量。2．描述输入和输出变量的词集

在模糊控制中，输入输出变量大小是以语言形式描述的，一般都选用“大、中、小”三个词汇来描述模糊控制器的输入、输出变量的状态，再加上正负两个方向和零状态，共有七个词汇：｛负大，负中，负小，零，正小，正中，正大｝一般用这些词的英文字头缩写为：｛NB，NM，NS，O，PS，PM，PB｝

为了提高系统稳态精度，通常在误差接近于零时增加分辨率，将“零”又分为“正零”和“负零”，因此，描述误差变量的词集一般取为：｛负大，负中，负小，负零，正零，正小，正中，正大｝用英文字头简记为：｛NB，NM，NS，NO，PO，PS，PM，PB｝

注意，上述“零”、“负零”、“正零”和其他词汇一样，都是描述了变量的一个区域。｛NB，NM，NS，O，PS，PM，PB｝

3．变量的模糊化某个变量变化的实际范围称为该变量的基本论域。记误差的基本论域为[-xe，xe]，误差变化的基本论域为[-xc，xc]，模糊控制器的输出变量(系统的控制量)的基本论域为[-yu，yu]。基本论域内的量是精确量，因而模糊控制器的输入和输出都是精确量，但是模糊控制算法需要模糊量。因此，输入的精确量(数字量)需要转换为模糊量，这个过程称为“模糊化”(Fuzzification)；另一方面，模糊算法所得到的模糊控制量需要转换为精确的控制量，这个过程称为“清晰化”或者“反模糊化”(Defuzzification)。比较实用的模糊化方法是将基本论域分为n个档次，即取变量的模糊子集论域为｛-n.-n+1,...,0，...,n-1,n｝

从基本论域[a，b]到模糊子集论域[-n，n]的转换公式为

(4—51)

一般选择模糊论域中所含元素个数为模糊语言词集总数的二倍以上，确保诸模糊集能较好地覆盖论域，避免出现失控现象。例如在选择上述七个词汇情况下，可选择E和EC的论域均为:｛-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，23，4，5，6｝选择模糊控制器的输出变量即系统的控制量U的论域为:｛-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，23，4，5，6，7｝4．隶属度为了实现模糊化，要在上述离散化了的精确量与表示模糊语言的模糊量之间建立关系，即确定论域中的每个元素对各个模糊语言变量的隶属度。隶属度是描述某个确定量隶属于某个模糊语言变量的程度。例如，在上述E和EC的论域中，6隶属于PB(正大)，隶属度为；+5也隶属于PB，但隶属度要比+6差，可取为；+4属于PB的程度更小，隶属度可取为；显然，0～-6就不属于PB了。所以隶属度取为0。常用的确定模糊变量隶属度μ的赋值表，如表～。

下面推荐一种根据系统输出的误差及误差的变化趋势，消除误差的模糊控制规则。该规则用下述21条模糊条件语句来描述，基本总结了众多的被控对象手动操作过程中，各种可能出现的情况和相应的控制策略。

1．ifE＝NBorNMandEC＝NBorNMthenU＝PB2．ifE＝NBorNMandEC＝NSorOthenU＝PB3．ifE＝NBorNMandEC＝PSthenU＝PM4．ifE＝NBorNMandEC＝PMorPBthenU＝O5．ifE＝NSandEC＝NBorNMthenU＝PM6．ifE＝NSandEC＝NSorOthenU＝PM7．ifE＝NSandEC＝PSthen；U＝O8．ifE＝NSandEC＝PMorPBthenU＝NS9．ifE＝NOorPOandEC＝NBorNMthenU＝PM10．ifE＝NOorPOandEC＝NSthenU＝PS建立模糊控制规则11．ifE＝NOorPOandEC＝OthenU＝O12．ifE＝NOorPOandEC＝PSthenU＝NS13．ifE＝NOorPOandEC＝PMorPBthenU＝NM14．ifE＝PSandEC＝NBorNMthenU＝PS15．ifE＝PSandEC＝NSthenU＝O16．ifE＝PSandEC＝OorPSthenU＝NM17．ifE＝PSandEC＝PMorPBthenU＝NM18．ifE＝PMorPBandEC＝NBorNMthenU＝O19．ifE＝PMorPBandEC＝NSthenU＝NM20．ifE＝PMorPBandEC＝OorPSthenU＝NB21．ifE＝PMorPBandEC＝PMorPBthenU＝NB上述21条模糊条件语句可以归纳为模糊控制规则表。表4.7模糊控制规则表

PB

PM

PS

O

NS

NM

NB

PB

NB

NB

NB

NB

NM

O

O

PM

NB

NB

NB

NB

NM

O

O

PS

NM

NM

NM

NM

O

PS

PS

PO

NM

NM

NS

O

PS

PM

PM

NO

NM

NM

NS

O

PS

PM

PM

NS

NS

NS

O

PM

PM

PM

PM

NM

O

O

PM

PB

PB

PB

PB

NB

O

O

PM

PB

PB

PB

PB

EC

U

E

模糊关系与模糊推理模糊控制规则实际上是一组多重条件语句，可以表示为从误差论域到控制量论域的模糊关系矩阵R。通过误差的模糊向量E＇和误差变化的模糊向量EC＇与模糊关系R的合成进行模糊推理，得到控制量的模糊向量，然后采用“清晰化”方法将模糊控制向量转换为精确量。根据模糊集合和模糊关系理论，对于不同类型的模糊规则可用不同的模糊推理方法。以下以常用的ifAthenB类型的模糊规则的推理为例。若已知输入为A，则输出为B;若现在已知输入为A＇，则输出B＇用合成规则求取

(4—52)其中模糊关系R定义为

μR(x，y)＝min[μA(x)，μB(y)，](4—53)例如，已知当输入的模糊集合A和输出的模糊集合B分别为:A＝／al／a2／a3／a4／a5B＝／bl／b2／b3／b4这里采用模糊集合的Zadeh表示法，其中ai，bi表示模糊集合所对应的论域中的元素，而μi表示相应的隶属度，“／”不表示分数的意思。则当输入A′＝12345B′由下式求取B'＝A'R＝=[(0.4∩0.7)∪(0.7∩0.7)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩1.0)∪(0.7∩0.8)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩0.6)∪(0.7∩0.6)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩0.0)∪(0.7∩0.0)∪(1.0∩0.0)∪(0.6∩0.0)∪(0.0∩0.0)]=[(0.40.70.50.20.0),(0.40.70.50.20.0),(0.40.60.50.20.0),(0.00.00.00.00.0)]=(0.7,0.7,0.6,0.0)则B'＝1234在上述运算中，“∩”为取小运算，“∪”为取大运算。R=R1∪R2∪……∪Rn=

(4—53)

由于系统的控制规则库是由若干条规则组成的，对于每一条推理规则都可以得到一个相应的模糊关系，n条规则就有n个模糊关系：Rl，R2，...，Rn，对于整个系统的全部控制规则所对应的模糊关系及可对n个模糊关系Ri(i＝l，2，...，n)取“并”操作得到，即4.5.5模糊控制向量的模糊判决—“清晰化”两种简单实用的方法。1．最大隶属度法这种方法是在模糊控制向量中，取隶属度最大的控制量作为模糊控制器的控制量。例如，当得到模糊控制向量为:U'＝由于控制量隶属于等级5的隶属度为最大，所以取控制量为:U＝5这种方法的优点是简单易行，缺点是完全排除了其他隶属度较小的控制量的影响和作用，没有充分利用取得的信息。2.加权平均判决法（1）普通加权平均法为了克服最大隶属度法的缺点，可以采用加权平均判决法，即

U=(4—54)例如U'＝则

U＝＝4（2）权系数加权平均法其中ki为权系数。（3）中位数判决法将隶属函数的曲线与横坐标所围成的面积平均分成两部分，以分界点对论域元素ui作为判决输出。设模糊推理的输出为模糊量C’,若存在u*,使得则u*为控制量的精确值。模糊控制表模糊关系、模糊推理以及模糊判决的运算可以离线进行，最后得到模糊控制器输入量的量化等级E，EC与输出量即系统控制量的量化等级U之间的确定关系，这种关系通常称为“控制表”。对应于节中的21条控制规则的“控制表”如表所示。

表4.8模糊控制表

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

-6

7

6

7

6

7

7

7

4

4

2

0

0

0

-5

6

6

6

6

6

6

6

4

4

2

0

0

0

-4

7

6

7

6

7

7

7

4

4

2

0

0

0

-3

7

6

6

6

6

6

6

3

2

0

-1

-1

-1

-2

4

4

4

5

4

4

4

1

0

0

-1

-1

-1

-1

4

4

4

5

4

4

1

0

0

0

-3

-2

-1

-0

4

4

4

5

1

1

0

-1

-1

-1

-4

-4

-4

+0

4

4

4

5

1

1

0

-1

-1

-1

-4

-4

-4

+1

2

2

2

2

0

0

-1

-4

-4

-3

-4

-4

-4

+2

1

2

1

2

0

-3

-4

-4

-4

-3

-4

-4

-4

+3

0

0

0

0

-3

-3

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

+4

0

0

0

-2

-4

-4

-7

-7

-7

-6

-7

-6

-7

+5

0

0

0

-2

-4

-4

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

+6

0

0

0

-2

-4

-4

-7

-7

-7

-6

-7

-6

-7

EC

U

E

4.5.7确定实际的控制量显然，实际的控制量u应为从控制表中查到的量化等级U乘以比例因子。设实际的控制量u的变化范围为[a，b]，量化等级为(-n，-n+1，…，o，...，