高中数学北师大版5第一章不等关系与基本不等式 学业分层测评4平均值不等式

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．下列不等式恒成立的是()A．x＋eq\f(1,x)≥2 B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2 D．ex＋eq\f(1,ex)≥2【解析】根据eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)知，条件需a>0，b>0.∴A，B，C均不成立，D中，∵ex>0，∴成立．【答案】D2．a，b为非零实数，那么不等式恒成立的是()A．|a＋b|＞|a－b| B．eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up21(2)≥ab D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2【解析】a，b为非零实数时，A，B，D均不一定成立．而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up21(2)－ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))eq\s\up21(2)≥0恒成立．【答案】C3．设a＞0，b＞0，且a＋b≤4，则有()\f(1,ab)≥eq\f(1,2) B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1\r(ab)≥2 D．eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,4)【解析】4≥a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤2.∴eq\f(1,\r(ab))≥eq\f(1,2)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2·eq\f(1,\r(ab))≥1.【答案】B4．设0<a<b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是()A．2<2ab<eq\r(a2＋b2)<a2＋b2B．2ab<b<a2＋b2<eq\r(a2＋b2)C．2ab<a2＋b2<b<eq\r(a2＋b2)D．2ab<a2＋b2<eq\r(a2＋b2)<b【解析】∵0<a<b，且a＋b＝1，∴0<a<b<1，∴a2＋b2>2ab，b>a2＋b2，且eq\r(a2＋b2)>b.故2ab<a2＋b2<b<eq\r(a2＋b2).【答案】C5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A．a＜v＜eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)\r(ab)＜v＜eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)【解析】设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝eq\f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq\f(2sab,a＋bs)＝eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).又v－a＝eq\f(2ab,a＋b)－a＝eq\f(ab－a2,a＋b)＞eq\f(a2－a2,a＋b)＝0，∴v＞a.【答案】A二、填空题6．已知a，b都是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,c)＋\f(c,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(c,b)＋\f(a,c)))≥________.【解析】∵a，b都是正数，∴eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)≥3，且eq\f(b,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)≥3.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,c)＋\f(c,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(c,b)＋\f(a,c)))≥9.【答案】97．设A＝eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)，B＝eq\f(2,a＋b)(a＞0，b＞0且a≠b)，则A，B的大小关系是________.【导学号：94910012】【解析】法一(比较法)：A－B＝eq\f(a－b2,2aba＋b)＞0(a＞0，b＞0且a≠b)，则A>B.法二：A＞eq\f(1,\r(ab))，B＜eq\f(1,\r(ab))，故A＞B.【答案】A＞B8．已知不相等的三个正数a，b，c且abc＝1，则a3＋b3＋c3与3的大小关系是________．【解析】∵a，b，c是不相等的三个正数，且abc＝1，∴a3＋b3＋c3＞3eq\r(3,a3b3c3)＝3.【答案】a3＋b3＋c3＞3三、解答题9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.【证明】∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴2eq\r(ab)≤a＋b.因此eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，eq\f(1,ab)≥4.则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(ab)·2eq\r(\f(1,ab))＋4＝8.10．已知a，b，c大于0，求证：(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋b)＋\f(1,b＋c)＋\f(1,a＋c)))≥eq\f(9,2).【证明】∵a，b，c大于0，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3eq\r(3,a＋bb＋cc＋a)＞0，eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋c)≥3eq\r(3,\f(1,a＋b)·\f(1,b＋c)·\f(1,a＋c))＞0，∴(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋b)＋\f(1,b＋c)＋\f(1,a＋c)))≥eq\f(9,2).当且仅当a＝b＝c时，等号成立．能力提升]1．设a，b，c为正数，则“abc＝1”是“eq\f(1,\r(a))＋eq\f(1,\r(b))＋eq\f(1,\r(c))≤a＋b＋c”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】当a＝b＝c＝2时，有eq\f(1,\r(a))＋eq\f(1,\r(b))＋eq\f(1,\r(c))≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，eq\f(1,\r(a))＋eq\f(1,\r(b))＋eq\f(1,\r(c))＝eq\f(\r(bc)＋\r(ac)＋\r(ab),\r(abc))＝eq\r(bc)＋eq\r(ac)＋eq\r(ab)，a＋b＋c＝eq\f(a＋b＋b＋c＋a＋c,2)≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ac)，所以充分性成立，故“abc＝1”是“eq\f(1,\r(a))＋eq\f(1,\r(b))＋eq\f(1,\r(c))≤a＋b＋c”的充分不必要条件．【答案】A2．当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是()\f(a＋b,2) B．eq\r(ab)C.eq\r(\f(a2＋b2,2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1＋b－1,2)))eq\s\up21(-1)【解析】由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)及a2＋b2≥2ab，且a≠b，∴eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\r(\f(2ab,2))＝eq\r(ab)，∴A，B，C中，eq\r(ab)最小．而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1＋b－1,2)))eq\s\up21(-1)＝eq\f(2ab,a＋b).∵a≠b时，a＋b＞2eq\r(ab)＞0，∴(a＋b)eq\r(ab)＞2ab＞0，eq\f(2ab,a＋b)＜eq\r(ab).综上可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1＋b－1,2)))eq\s\up21(-1)最小，应选D.【答案】D3．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2.【解析】利用特殊值a＝b＝1排除②④.由平均值不等式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up21(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))eq\s\up21(2)＝1，∴①正确．由a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋1]≥2，∴③正确．由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(1,2)(2＋2)＝2，∴⑤正确．【答案】①③⑤4．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)的最小值．【解】因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.于是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3a＋2)＋\f(1,3b＋2)＋\f(1