高中数学人教A版3第一章计数原理单元测试 省一等奖

梯度训练基础题1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法种数有()A48种B．24种C14种D．12种答案:A解：从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法，由分步乘法计数原理，不同的选法种数共有8×6=48(种)．2．如果，则n的值为（）A．8B．7C．6D．不存在答案:B解：因为，所以n=7，故选B3．按降幂排列的展开式中，系数最大的项是（）A．第4项和第5项B．第5项C．第5项和第6项D．第6项答案:B解：的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数最大，但第6项前有一个和它相乘，所以只有第5项的系数最大．4．由0，3，5，7，9这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的个数（）．9．21．24．42答案:B解：分两类，一类0在个位的三位数有个，二类5在个位的三位数有3个，所以是5的倍数的共有＋3＝21．5．已知，则的值等于（）A．64B．32C．63D．31答案:B解：因为，所以n=6所以6．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48答案:B解法1：分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法．共有．解法2：按顺序种花，可分同色与不同色有7．的展开式中的系数为28，则a＝___________．答案:解：由二项展开式的通项公式令得，所以，解得a=8．设坐标平面内有一个青蛙从原点出发沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位；经过5次跳动后，青蛙落在点（3，0）（允许重复经过此点）；则青蛙不同的运动方式有种．答案:5解：青蛙5次跳动中，只有一次是向负方向的，另外的4次都是向正方向的，不同的跳动方式数为种．9．对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，直到区分出所有次品为止．若所有次品恰好在第5次测试被全部发现，则这样的测试方法有种．答案:576解：所有次品恰好在第5次测试被全部发现，则第5次检验的必定是次品．第一步：优先排第5次测试有种．第二步：从6件正品中任选一件，有种选法．第三步：由剩下的三件次品和选中的一件正品排前4次确定的位置，有种排法．由分步乘法计数原理，不同的测试方法共有=576种．能力提升11．已知展开式的前三项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项？一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．解：展开式的通项为；∴由题意得：，∴，∴ｎ＝8，故．若展开式存在常数项，则，解之得，所以展开式中没有常数项．若展开式存在一次项，则，即，所以ｒ＝6，所以展开式中存在一次项，它是第7项，．12．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数有多少种？解：依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，根据司机这项工作的实际参与人数进行分类：第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有=108(种)；第二类，司机这项工作的实际参与人数恰有2人，满足题意的方法有=18(种)因此，满足题意的方法有108+18=126(种)．提高题1．为了迎接元宵节，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒．答案：C解：共有=120个闪烁，119个间隔，每个闪烁需用时5秒，每个间隔需用时5秒，故共需要至少120×(5+5)-5=1195秒．2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息O110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A．108．1lC．12D．15答案：B解：恰有0个，1个，2个对应位置上的数字相同的信息个数分别为1，，，故至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1++=11，故选B．3．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有j‘“A．288种B．264种C．240种D．168种答案：B解：先涂A、D、E三个点，共有4×3×2=24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色．共有2×(2×1+1×2)=8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有l×(1×l+1×2)=3种涂法．所以涂色方法共有24×(8+3)=264种．4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A．36种B．42种C．48种D．54种答案：B解：由题可知，可以考虑分成两类计算，若甲排在第一位则有种方案，若甲排在第二位则有种方案，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有+=42(种)，故选B．5．的展开式中x的系数是（）A．-4B．-2C．2D．4答案：C解：由题意展开式的通项为，的展开式的通项为，因此，的通项为，故当=1时，也即r=0且r=3或r=2且r=0两种情况，则展开式中x的系数为（-10）+12=2，选C．6．已知的展开式的第四项是____________答案：解：由．7．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是__________答案：108解：从2，4，6三个偶数中选一个数放在个位，有种方法，将其余两个偶数全排列，有种排法，当l，3不相邻且不与5相邻时有种方法，当l，3相邻且不与5相邻时有种方法，故满足题意的偶数有（+）=108个．8．已知（k是正整数）展开式中，x8的系数小于120，则k=______答案：1解：由得x8的系数为．由得,由于k为正整数，于是k=1．9．的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解：，依题意有.所以的展开式中，二项式系数最大的项为.设第ｒ＋1项系数最大，则有.由于，所以ｒ＝5或ｒ＝6.则系数最大的项为.10．为了掀起春季学习高潮，育才和新星等13所中学联合举办数学、物理、化学和英语竞赛，规定每名同学只能参加一种竞赛，且每校的任2名同学不能参加同一种竞赛．现在新星中学从包含甲的某学习小组中选出4名选手参加比赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问这个小组一共有多少名同学？．解：设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲进行分类：第一类，不选甲，则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有种方法，再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛，有种方法，共有种参赛方式，由分类加法计数原理共有种方法，根据题意，得=72即经比较知n=5．高考真题1．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层，则同一科目的书都不相邻的概率是______答案：解：基本事件共有=120种，同一科目的书都不相邻的情况可用间接法求解，即-=48，因此同一科目的书都不相邻的概率是P==．2．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个．(用数字作答)答案：14解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24-2=14个．3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排l人，每人值班l天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A．504种B．960种C．1008种D．1108种答案：C解析：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有=1440种，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有=240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在l0月7日值班的方法共有=240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在l0月l目值班、丁在10月7日值班的方法共有=48种.因此满足题意的方法共有l440-2×240+48=1008种，选C．4．设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B．若B=4A，则a的值是______________答案：2解：易知，故B=，A=．因为B=4A，a>0,∴a=2．5．的二项展开式中，x的系数