高中数学苏教版本册总复习总复习 章末过关检测卷(二)

章末过关检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·四川卷)向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝()A．2B．3C．4D．解析：因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.答案：B2．(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(MB,\s\up13(→)))＋(eq\o(BO,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→)))＋eq\o(OM,\s\up13(→))化简后等于()\o(BC,\s\up13(→))\o(AB,\s\up13(→))\o(AC,\s\up13(→))\o(AM,\s\up13(→))解析：原式＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BO,\s\up13(→))＋eq\o(OM,\s\up13(→))＋eq\o(MB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→)).答案：C3．(2023·课标全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·aA．－1B．0C．1D．2解析：法一：因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·法二：因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0从而(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，答案：C4．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且eq\o(AD,\s\up13(→))＝2eq\o(AB,\s\up13(→))－3eq\o(BC,\s\up13(→))，则点D的坐标为()A．(2，16) B．(－2，－16)C．(4，16) D．(2，0)解析：设D(x，y)，由题意可知eq\o(AD,\s\up13(→))＝(x＋1，y－2)，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(3，1)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝(1，－4)，所以2eq\o(AB,\s\up13(→))－3eq\o(BC,\s\up13(→))＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝3，,y－2＝14.))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝16.))答案：A5．点C在线段AB上，且eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up13(→))，若eq\o(AC,\s\up13(→))＝λeq\o(BC,\s\up13(→))，则λ等于()\f(2,3)\f(3,2)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(3,2)解析：因eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(BC,\s\up13(→)))，所以eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up13(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up13(→))，即eq\o(AC,\s\up13(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up13(→))＝λeq\o(BC,\s\up13(→)).所以λ＝－eq\f(2,3).答案：C6．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30°解析：设向量a，b夹角为θ，|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，则cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.答案：B7．(2023·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立.根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D答案：B8．(2023·课标全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up13(→))＝3eq\o(CD,\s\up13(→))，则()\o(AD,\s\up13(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up13(→)) \o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up13(→))\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up13(→)) \o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up13(→))解析：eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up13(→)).答案：A9．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()A．2eq\r(3)\r(3)C．0D．－eq\r(3)解析：因为a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，所以|a|＝2，|b|＝eq\r(9＋m2)，a·b＝3＋eq\r(3)m.又a，b的夹角为eq\f(π,6)，所以eq\f(a·b,|a|·|b|)＝coseq\f(π,6)，即eq\f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2))＝eq\f(\r(3),2).所以eq\r(3)＋m＝eq\r(9＋m2)，解得m＝eq\r(3).答案：B10．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝eq\r(50)，则|b|＝()A．0B．2C．5D．25解析：因为a＝(2，1)，则有|a|＝eq\r(5)，又a·b＝10，又由|a＋b|＝eq\r(50)，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝505＋2×10＋|b|2＝50，所以|b|＝5.答案：C11．(2023·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq\o(AB,\s\up13(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up13(→))解析：在△ABC中，由eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·eq\o(BC,\s\up13(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0.所以(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up13(→)).答案：D12．在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝60°，AD是边BC上的高，则eq\o(AD,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))的值等于()A．－eq\f(9,4)\f(9,4)\f(27,4)D．9解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据已知条件可求得以下几点坐标：Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(3),2)))，D(0，0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3\r(3),2)))，eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).所以eq\o(AD,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\f(27,4).答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．(2023·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8.))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5.))所以m－n＝2－5＝－3.答案：－314．(2023·北京卷)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up13(→))＝2eq\o(MC,\s\up13(→))，eq\o(BN,\s\up13(→))＝eq\o(NC,\s\up13(→)).若eq\o(MN,\s\up13(→))＝xeq\o(AB,\s\up13(→))＋yeq\o(AC,\s\up13(→))，则x＝____________；y＝________________．解析：因为eq\o(AM,\s\up13(→))＝2eq\o(MC,\s\up13(→))，所以eq\o(AM,\s\up13(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up13(→)).因为eq\o(BN,\s\up13(→))＝eq\o(NC,\s\up13(→))，所以eq\o(AN,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))．因为eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(AN,\s\up13(→))－eq\o(AM,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up13(→))，又eq\o(MN,\s\up13(→))＝xeq\o(AB,\s\up13(→))＋yeq\o(AC,\s\up13(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).答案：eq\f(1,2)－eq\f(1,6)15．若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a×b”为“向量积”，其长度|a×b|＝|a||b|·sinθ，若已知|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4，则|a×b|＝________．解析：由|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4得cosθ＝－eq\f(4,5)，又θ∈[0，π]，所以sinθ＝eq\f(3,5).由此可得|a×b|＝1×5×eq\f(3,5)＝3.答案：316．(2023·湖北卷)若向量eq\o(OA,\s\up13(→))＝(1，－3)，|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|，eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝0，则|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝________．解析：因为eq\o(OA,\s\up13(→))＝(1，－3)，又|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝eq\r(10)＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|，又eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝0，所以∠AOB＝90°.所以△AOB是等腰直角三角形，且|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝eq\r(2)|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cosθ(其中θ为a与b因为0°<θ<120°.所以－eq\f(1,2)<cosθ<1，所以eq\r(13)<|c|<5.所以|c|的取值范围为(eq\r(13)，5)．18.(本小题满分12分)如图所示，在△AOB中，点P在直线AB上，且满足eq\o(OP,\s\up13(→))＝2teq\o(PA,\s\up13(→))＋teq\o(OB,\s\up13(→))(t∈R)，求eq\f(|\o(PA,\s\up13(→))|,|\o(PB,\s\up13(→))|)的值．解：eq\o(PA,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))－eq\o(OP,\s\up13(→))，所以eq\o(OP,\s\up13(→))＝2t(eq\o(OA,\s\up13(→))－eq\o(OP,\s\up13(→)))＋teq\o(OB,\s\up13(→))，即(1＋2t)eq\o(OP,\s\up13(→))＝2teq\o(OA,\s\up13(→))＋teq\o(OB,\s\up13(→))，得eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\f(2t,1＋2t)eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(t,1＋2t)eq\o(OB,\s\up13(→)).而P，A，B三点共线，所以存在实数λ使得eq\o(AP,\s\up13(→))＝λeq\o(AB,\s\up13(→))，即eq\o(OP,\s\up13(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up13(→))＋λeq\o(OB,\s\up13(→))，由平面向量基本定理，所以eq\f(2t,1＋2t)＋eq\f(t,1＋2t)＝(1－λ)＋λ＝1，解得t＝1，所以eq\o(OP,\s\up13(→))＝2eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))，则eq\o(BP,\s\up13(→))＝2eq\o(PA,\s\up13(→))，故eq\f(|\o(PA,\s\up13(→))|,|\o(PB,\s\up13(→))|)＝eq\f(1,2).19．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果eq\o(OA,\s\up13(→))＝2e1＋me2，eq\o(OB,\s\up13(→))＝ne1－e2，eq\o(OC,\s\up13(→))＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．解：以O为原点，e1，e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，则eq\o(OA,\s\up13(→))＝(2，m)，eq\o(OB,\s\up13(→))＝(n，－1)，eq\o(OC,\s\up13(→))＝(5，－1)，所以eq\o(AC,\s\up13(→))＝(3，－1－m)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝(5－n，0)．又因为A，B，C三点在一条直线上，所以eq\o(AC,\s\up13(→))∥eq\o(BC,\s\up13(→))，所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mn－5m＋n－5＝0，,m＝2n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝5.))20．(本小题满分12分)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R.(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；(2)若a－tb与c共线，求实数t.解：(1)因为a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，所以a＋tb＝(－3，2)＋t(2，1)＝(－3＋2t，2＋t)．所以|a＋tb|＝eq\r(（－3＋2t）2＋（2＋t）2)＝eq\r(5t2－8t＋13)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(4,5)))\s\up12(2)＋\f(49,5))≥eq\r(\f(49,5))＝eq\f(7\r(5),5)，当且仅当t＝eq\f(4,5)时取等号，即|a＋tb|的最小值为eq\f(7\r(5),5)，此时t＝eq\f(4,5).(2)因为a－tb＝(－3，2)－t(2，1)＝(－3－2t，2－t)，又a－tb与c共线，c＝(3，－1)，所以(－3－2t)·(－1)－(2－t)·3＝0.解之可得t＝eq\f(3,5).21．(本小题满分12分)已知向量eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→))，eq\o(OC,\s\up13(→))满足条件eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝0，|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|＝1.求证：△ABC为正三角形．证明：因为eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＝－eq\o(OC,\s\up13(→)).所以(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→)))2＝(－eq\o(OC,\s\up13(→)))2.所以|eq\o(OA,\s\up13(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up13(→))|2＋2eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|2.所以eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝－eq\f(1,2).所以cos∠AOB＝eq\f(\o(OA,\s\up13(→))·\o(OB,\s\up13(→)),|\o(OA,\s\up13(→))||\o(OB,\s\up13(→))|)＝－eq\f(1,2).所以∠AOB＝120°.同理∠AOC＝120°，∠COB＝120°.即eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→))，eq\o(OC,\s\up13(→))中任意两个夹角为120°.故△ABC为正三角形．22．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(6，1)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up13(→))＝(－2，－3)，eq\o(BC,\s\up13(→))∥eq\o(DA,\s\up13(→)).(1)求x与y的关系式；(2)若eq\o(AC,\s\up13(→))⊥eq\o(BD,\s\up13(→))，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．解：在四边形ABCD中，如图所示．(1)因为eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up