MATLAB语言与其应用第九讲控制系统辅助设计

MATLAB语言与其应用第九讲控制系统辅助设计摘要

2023/2/6Matlab语言及其应用2

控制系统的基本理论控制系统工具箱函数控制系统分析与设计2023/2/63控制系统模型传递函数模型零极点增益模型状态空间模型Matlab语言及其应用2023/2/64模型的转换1[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)[z,p,k]=tf2zp(num,den)[num,den]=zp2tf(z,p,k)[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)[z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d)Matlab语言及其应用2023/2/65例：求传函和状态空间模型k=6;z=[-3];p=[-1,-2,-5];pzmap(p,z)[num,den]=zp2tf(z,p,k)tf(num,den)[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)[zz,pp,kk]=ss2zp(A,B,C,D)Matlab语言及其应用2023/2/66s1=tf([345],[13579],'InputName','U','OutputName','Y')

s2=tf([345],[13579],,'InputName','U','OutputName','Y')Transferfunctionfrominput"U"tooutput"Y":3s^2+4s+5-----------------------------s^4+3s^3+5s^2+7s+9Transferfunctionfrominput"U"tooutput"Y":3z^2+4z+5-----------------------------z^4+3z^3+5z^2+7z+9Matlab语言及其应用2023/2/67模型的转换2

连续时间系统===离散时间系统连续到离散[ad,bd]=c2d(a,b,Ts)[ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,d,Ts,lambda)带输入延时[ad,bd,cd,dd]=c2dm(a,b,c,d,Ts,’method’)[num,den]=c2dm(num,den,Ts,’method’)方法：‘zoh’默认零阶保持器‘foh’默认一阶保持器(无逆变)‘tustin’利用双线性逼近导数‘prewrap’利用频率预变的双线性来逼近‘matched’利用匹配零-极点方法将SISO系统变换Matlab语言及其应用2023/2/68模型的转换3

连续时间系统===离散时间系统离散到连续[ac,bc]=d2c(ad,bd,Ts)[ac,bc,cc,dc]=d2c(ad,bd,cd,dd,Ts)[ac,bc,cc,dc]=d2cm(ad,bd,cd,dd,Ts,’method’)[num,den]=d2cm(num,den,Ts,’method’)Matlab语言及其应用2023/2/69[a,b,c,d]=ord2(1,0.2)%生成两阶系统step(a,b,c,d);holdon[aa,bb,cc,dd]=c2dm(a,b,c,d,0.5,'tustin')dstep(aa,bb,cc,dd)c2dm(a,b,c,d,0.5,'tustin')Matlab语言及其应用2023/2/610用零阶保持器和双线性

变换求离散传递函数formatcompactf=[-41];g=[1210];sc=tf(f,g)disp('零阶保持器')sd1=c2d(sc,ts)disp('双线性变换')sd2=c2d(sc,ts,'t')零阶保持器Transferfunction:----------------------双线性变换

Transferfunction:-----------------------------Matlab语言及其应用%连续和离散系统的多种输出响应曲线clear,clf[a,b,c,d]=rmodel(4);s1=ss(a,b,c,d);Ts=0.2;sd1=c2d(s1,Ts,'t')t=0:Ts:25;u=sin(0.5*t);fori=1:2ifi==1s=s1;elses=sd1;endfigure(i)subplot(2,2,1)impulse(s,5);gridsubplot(2,2,2)lsim(s,u,t);%动态系统对任意输入的模拟时间响应subplot(2,2,3)x0=[1,-1,0,2];initial(s,x0,5),grid%状态空间模型的初始状态响应subplot(2,2,4)pzmap(s),gridend

2023/2/6Matlab语言及其应用11

2023/2/612典型系统的生成s=rss(n)或s=rss(n，p出，m入)随机生成n阶稳定的连续状态空间模型[num,den]=rmodel(n)随机生成n阶稳定的连续线性模型系数s=drss(n)随机生成n阶稳定的离散状态空间模型[num,den]=drmodel(n)随机生成n阶稳定的离散线性模型系数[num,den]=ord2(wn,z)生成固有频率为wn，阻尼系数为z的二阶系统系数Matlab语言及其应用2023/2/613系统的建模1系统的并联parallel[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2);[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,in1,in2,out1,out2)将输入in1和in2合并为一个输入将输出out1和out2合并为一个输出Matlab语言及其应用2023/2/614系统的建模2系统的串联series[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2);[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2)将系统1的输出与系统2的输入进行串联Matlab语言及其应用2023/2/615系统的建模3系统的反馈feedback[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign);[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2)[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)sign缺省时，默认为负，即负反馈[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1);将系统1的指定输出通过系统2反馈到系统1的输入。Matlab语言及其应用2023/2/616系统的建模4系统的闭环cloop[ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,sign)[numc,denc]=cloop(num,den,sign)[ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,out,in)将系统的输出反馈到输入，形成单位反馈Matlab语言及其应用2023/2/617a1=[0,1;-1,-2];b1=[0;1];c1=[1,3];d1=1;a2=[0,1;-1,-3];b2=[0;1];c2=[1,4];d2=[0];[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,1)Matlab语言及其应用2023/2/618sys1=tf([21],[321]);sys2=tf(1,[32]);H=feedback(sys1,sys2);p=pole(H);ni=find(real(p)>0);n=length(ni);ifn>0disp('系统不稳定')elsedisp('系统稳定')endMatlab语言及其应用2023/2/619模型特性1可控性矩阵[co]=ctrb(a,b)cco=length(a)-rank(co)

如果cco==0表示可控可观性矩阵[ob]=obsv(a,c)oob=length(a)-rank(ob)

如果oob==0表示可观Matlab语言及其应用2023/2/620模型特性2[aa,bb,cc,T,k]=ctrbf(a,b,c)可控性分解[aa,bb,cc,T,k]=obsvf(a,b,c)可观性分解sysT=ss2ss(sys,T)相似变换[csys,T]=canon(sys,’type’)规范分解type=model约当矩阵形式type=companion伴随矩阵形式Matlab语言及其应用2023/2/621系统可控和可观判断a=[-3,1;1,-3];b=[1,1;1,1]c=[1,1;1,-1];d=0cam=ctrb(a,b);cco=length(a)-rank(cam)ifcco==0disp('系统可控')elsedisp('系统不可控')endoam=obsv(a,c);oob=length(a)-rank(oam)ifoob==0disp('系统可观')elsedisp('系统不可观')endMatlab语言及其应用2023/2/622系统可控和可观分解%化为可控阶梯形clear,A=[-2,2,-1;0,-2,0;1,-4,3];B=[0;0;1];C=[1,-1,1];D=0;%系数矩阵赋值s1=ss(A,B,C,D); %构成LTI模型[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=ctrbf(s1.a,s1.b,s1.c) %化为可控阶梯型rA=rank(A) %状态方程系数矩阵的秩rc=sum(k) %判断可控矩阵的秩[Abaro,Bbaro,Cbaro,To,ko]=obsvf(s1.a,s1.b,s1.c); %化为可观阶梯型ro=sum(ko) %判断可观矩阵的秩Matlab语言及其应用2023/2/623时域响应1求连续系统的单位阶跃响应[y,x,t]=step(a,b,c,d)[y,x,t]=step(a,b,c,d,iu)[y,x,t]=step(a,b,c,d,iu,t)[y,x,t]=step(num,den)[y,x,t]=step(num,den,t)不带输出变量引用时绘制出响应曲线t为用户指定时间绘制曲线，iu为指定输入的输出Matlab语言及其应用2023/2/624时域响应2求离散系统的单位阶跃响应[y,x]=dstep(a,b,c,d)[y,x]=dstep(a,b,c,d,iu)[y,x]=dstep(a,b,c,d,iu,n)[y,x]=dstep(num,den)[y,x]=dstep(num,den,n)不带输出变量引用时绘制出响应曲线n为用户指定时间绘制曲线，iu为指定输入的输出Matlab语言及其应用2023/2/625时域响应3求连续系统的单位冲激响应[y,x,t]=impulse(a,b,c,d)[y,x,t]=impulse(a,b,c,d,iu)[y,x,t]=impulse(a,b,c,d,iu,t)[y,x,t]=impulse(num,den)[y,x,t]=impulse(num,den,t)不带输出变量引用时绘制出响应曲线t为用户指定时间绘制曲线，iu为指定输入的输出Matlab语言及其应用2023/2/626时域响应4求离散系统的单位冲激响应[y,x]=dimpulse(a,b,c,d)[y,x]=dimpulse(a,b,c,d,iu)[y,x]=dimpulse(a,b,c,d,iu,n)[y,x]=dimpulse(num,den)[y,x]=dimpulse(num,den,n)不带输出变量引用时绘制出响应曲线n为用户指定时间绘制曲线，iu为指定输入的输出Matlab语言及其应用2023/2/6271、求时单位阶跃响应wn=6;kosi=[0.1:0.1:1,2.0]figure(1)holdonforks=kosinum=wn.^2;den=[1,2*ks*wn,wn.^2]step(num,den)%impulse(num,den)endtitle('StepResponse');holdoffMatlab语言及其应用2023/2/6282、求时单位阶跃响应kosi=0.7;wn=[2:2:12]figure(2)holdonforwn=wnnum=wn.^2;den=[1,2*kosi*wn,wn.^2]step(num,den)%impulse(num,den)endtitle('StepResponse');holdoffMatlab语言及其应用2023/2/629脉冲响应和阶跃响应：a=[-0.5572-0.7814;0.78140];b=[1-1;02];c=[1.96916.4493];sys=ss(a,b,c,0);impulse(sys)step(sys)Matlab语言及其应用2023/2/630时域响应5求连续系统的零输入响应[y,x,t]=initial(a,b,c,d,x0)[y,x,t]=initial(a,b,c,d,x0,t)不带输出变量引用时绘制出响应曲线t为用户指定时间绘制曲线x0为指定初始状态Matlab语言及其应用2023/2/631时域响应6求离散系统的零输入响应[y,x]=dinitial(a,b,c,d,x0)[y,x]=dinitial(a,b,c,d,x0,n)不带输出变量引用时绘制出响应曲线t为用户指定时间绘制曲线x0为指定初始状态Matlab语言及其应用2023/2/632[a,b,c,d]=ord2(0.7,0.35)[y1]=step(a,b,c,d)x0=[1;1][y2]=initial(a,b,c,d,x0)figure(1)plot(y1);holdonplot(y2,'k')plot(y1+y2,'r')Matlab语言及其应用2023/2/633时域响应7对任意输入的连续系统进行仿真[y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t)[y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)[y,x]=lsim(num,den,u,t)num=[2,5,1];den=[123];t=[0:0.1:10];period=4;%输入为方波T=4u=(rem(t,period)>=period./2);lsim(num,den,u,t)Matlab语言及其应用2023/2/634时域响应8对任意输入的离散系统进行仿真[y,x]=dlsim(a,b,c,d,u)[y,x]=dlsim(a,b,c,d,u,x0)[y,x]=dlsim(num,den,u)Matlab语言及其应用2023/2/635频率响应1求连续系统的Bode频率响应[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d)[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d,iu)[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d,iu,w)[mag,phase,w]=bode(num,den)[mag,phase,w]=bode(num,den,w)函数中w为指定绘图频段,无返值直接绘制图Matlab语言及其应用2023/2/636[a,b,c,d]=ord2(1,0.2);bode(a,b,c,d);gridon[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d)title('BodePlot')Matlab语言及其应用2023/2/637频率响应2求离散系统的Bode频率响应[mag,phase,w]=dbode(a,b,c,d,Ts)[mag,phase,w]=dbode(a,b,c,d,Ts,iu)[mag,phase,w]=dbode(a,b,c,d,Ts,iu,w)[mag,phase,w]=dbode(num,den,Ts)[mag,phase,w]=dbode(num,den,Ts,w)函数中w为指定绘图频段,无返值直接绘制图Matlab语言及其应用2023/2/638num=[2,-3.4,1.5]den=[1-1.60.8];dbode(num,den,0.3);gridtitle('DiscrteBodePlot')[mag,phase,w]=dbode(num,den,0.3)Matlab语言及其应用2023/2/639频率响应3求连续系统的Nyquist频率曲线（极坐标图）[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d)[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d,iu)[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d,iu,w)[re,im,w]=nyquist(num,den)[re,im,w]=nyquist(num,den,w)函数中w为指定绘图频段,无返值直接绘制Matlab语言及其应用2023/2/640num=[251];den=[123]nyquist(num,den)title('NyquistPlot')Matlab语言及其应用2023/2/641频率响应4求离散系统的Nyquist频率曲线（极坐标图）[re,im,w]=dnyquist(a,b,c,d,Ts)[re,im,w]=dnyquist(a,b,c,d,Ts,iu)[re,im,w]=dnyquist(a,b,c,d,Ts,iu,w)[re,im,w]=dnyquist(num,den,Ts)[re,im,w]=dnyquist(num,den,Ts,w)函数中w为指定绘图频段,无返值直接绘制Matlab语言及其应用2023/2/642num=[2,-3.4,1.5]den=[1-1.60.8];dnyquist(num,den,0.3);title('DiscrteNyquistPlot')Matlab语言及其应用2023/2/643频率响应5求连续系统的增益和相角裕度[gm,pm,wc,wg]=margin(mag,phase,w)[gm,pm,wc,wg]=margin(num,den)[gm,pm,wc,wg]=margin(a,b,c,d)函数中w为指定绘图频段,无返值直接绘制Matlab语言及其应用2023/2/644num=[5,5]den=[1230];bode(num,den);grid[mag,phase,w]=bode(num,den)[gm,pm,wcp,wcg]=margin(mag,phase,w)[Matlab语言及其应用%四阶连续和离散系统开闭环bode图clear,Ts=0.1s=zpk(-6,[0,-1,-10,-10],200) %生成四阶连续系统ssd=c2d(s,Ts) %变换为四阶离散系统sdsb=feedback(s,1) %把连续系统闭合，生成闭环系统sbsbd=feedback(sd,1) %把离散系统闭合，生成闭环系统sbdfigure(1),gridbode(s,'--',sb,'.-')%在图1中同时绘出连续系统的开闭环频率特性figure(2),gridbode(sd,'--',sbd,'.-')%在图2中同时绘出离散系统的开闭环频率特性damp(sb) %闭环sb的根的固有频率和阻尼系数damp(sbd) %判断闭环sbd的根的固有频率和阻尼系数[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(s)%判断闭环sb的稳定裕度[Gmd,Pmd,wcgd,wcpd]=margin(sd)%判断闭环sb的稳定裕度

2023/2/6Matlab语言及其应用45

2023/2/646根轨迹1绘制系统的零极点图[p,z]=pzmap(a,b,c,d)[p,z]=pzmap(num,den)pzmap(p,z)%绘制给定零极点图Matlab语言及其应用2023/2/647num=[251]den=[123]pzmap(num,den)title('Pole-ZeroMap')[p,z]=pzmap(num,den)p=z=Matlab语言及其应用2023/2/648根轨迹2求系统的根轨迹[r,k]=rlocus(num,den)[r,k]=rlocus(num,den,k)[r,k]=rlocus(a,b,c,d)[r,k]=rlocus(a,b,c,d,k)无返回变量直接绘制曲线，函数中的k为指定k值的根轨迹Matlab语言及其应用2023/2/649根轨迹3sgrid%绘制阻尼系数和自然频率栅格sgrid(z,wn)%绘制指定阻尼系数和自然频率栅格sgrid(‘new’)%重画阻尼系数和自然频率栅格zgrid%绘制离散系统阻尼系数和自然频率栅格zgrid(z,wn)%绘制指定阻尼系数和自然频率栅格zgrid(‘new’)%重画阻尼系数和自然频率栅格Matlab语言及其应用2023/2/650根轨迹4计算给定一组根的根轨迹增益[k,ploes]=rlocfind(a,b,c,d)[k,ploes]=rlocfind(a,b,c,d,p)[k,ploes]=rlocfind(num,den)[k,ploes]=rlocfind(num,den,p)%可指定要得到增益的根矢量pMatlab语言及其应用2023/2/651num=[251]%num=[1]num=[12]den=[123]%den=[11636800]den=conv([143],[143])rlocus(num,den)title('RootLocus')[r,k]=rlocus(num,den)[k,poles]=rlocfind(num,den)sgridMatlab语言及其应用2023/2/652num=[1]den=[15860]rlocus(num,den)title('Rootlocus')s=tf(num,den)sd=c2d(s,0.5,'t')figure(2)rlocus(sd)zgrid

1------------------------------s^4+5s^3+8s^2+6sTransferfunction:

1

---------------------=

s(s+3)(s^2+2s+2)Matlab语言及其应用2023/2/653控制系统的设计方法一般意义上的设计控制系统，就是在已知被控对象的数学模型（一般为传递函数）的基础上，引入校正环节，使得系统的闭环暂态和稳态性能满足要求。工业上，一般称校正环节为控制器。设计系统要包括：控制系统结构设计，控制器控制算法设计、控制器参数设计等。对于用传递函数描述的控制系统，常用的经典设计方法是根轨迹与频域法。Matlab语言及其应用PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用54

介绍

本节将向大家展示了比例每个比例项(P)的特点，积分项(I)和微分项(D)控制，以及如何使用它们来获得所需的响应。考虑以下单位反馈系统：PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用55

PID控制器的传递函数如下所示：·Kp=比例控制参数·KI=积分控制参数·Kd=微分控制参数PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用56

工作原理。变量(e)代表误差，这里的误差是指输入值(R)和实际输出(Y)两者之差。这个错误信号(e)将发送到PID控制器，该控制器对这个错误信号同时计算导数和积分。刚刚过去信号(u)将等于比例控制参数(Kp)乘上误差，积分控制参数(Ki)乘上误差的积分，微分控制系数(Kd)乘上误差的微分。这个信号(u)将被发送到被控对象，新的输出(Y)将获得。这种新的输出(Y)将被送回传感器再次找到新的误差信号(e)。该控制器采用这个新的误差信号，并计算其微分及其积分了。这个过程将反复的进行。PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用57

P，I和D控制器的属性比例控制参数(Kp)加快系统的响应速度，提高系统的调节精度，但从未消除稳态误差。一个积分控制参数(Ki)将消除残差，但它可能使瞬态响应差。一个微分控制参数(Kd)将改善系统的动态性能，减少了过冲，改善瞬态响应的影响。Kp,Kd,和Ki在闭环系统的影响总结如下表。控制器反应上升时间Risetime超调Overshoot调节时间Settingtime稳态误差S-serrorKp减小增大微小变化减小Ki减小增大增大消除Kd微小变化减小减小微小变化注意：这些关系不是固定不变的，因为Kp,Kd,和Ki是互相依赖。事实上，改变一个值可以改变其他两个效果。PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用58

PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用59

PID简单形象的介绍简单的控制模型：你控制一个人让他以PID控制的方式走100步后停下。1、P

比例控制，就是让他走100步，他按照一定的步伐走到90几步（如98步）或100多步（如102步）就停了。说明：P比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-stateerror）。2、PI

积分控制，就是他按照一定的步伐走到102步然后回头接着走，走到98步位置时，然后又回头向100步位置走。在100步位置处来回晃几次，最后停在100步的位置。说明：在积分I控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（SystemwithSteady-stateError）。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”，积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，比例+积分（PI）控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用60

3、PD

微分控制，就是他按照一定的步伐走到一百零几步后，再慢慢地向100步的位置靠近，如果最后能精确停在100步的位置，就是无静差控制；如果停在100步附近（如99步或101步位置），就是有静差控制。

说明：在微分控制D中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳，其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后（delay）组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例P”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势。这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例P+微分D（PD）控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用61

例题：如图弹簧阻尼系统的控制问题PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用62

该系统的建模方程式输入F和输出位移x的函数：拉普拉斯变换得：PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用63

其中

·M=1kg·k=20N/m·F(s)=1

把这些值代入到传递函数这个例题的目的是向您展示Kp,Ki和Kd值如何有助于获得·快速的上升时间（Fastrisetime）·最小的过冲量（Minimumovershoot）·没有稳态误差（Nosteady-stateerror）PID控制

2023/2/6Matlab语言及其应用64

1、开环阶跃响应让我们先来查看开环阶跃响应。创建一个新的M-文件，添加以下代码：

num=1;

den=[11020];

plant=tf(num,den);

step(plant)该被控对象的传递函数的直流增益为1/20，所以是一个单位阶跃输入输出的最终值。这相当于稳态误差，确实相当大。此外，上升时间约为1秒，稳定时间约为秒。让