高中数学人教B版本册总复习总复习 2023版第1章三角形中的几何计算

第3课时三角形中的几何计算1.掌握三角形的面积公式的应用.(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用.(难点)[基础·初探]教材整理三角形面积公式阅读教材P10探索与研究～P11，完成下列问题.1.三角形的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsin_A＝eq\f(1,2)casin_B；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径).2.三角形中常用的结论(1)∠A＋∠B＝π－∠C，eq\f(∠A＋∠B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(∠C,2)；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠C≠\f(π,2)))，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).1.下列说法中正确的是________(填序号).(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝eq\r(3)，则∠A＝60°；(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30°，则S△ABC的面积是6；(4)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则∠A＝∠B【解析】(1)错误.因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为S＝eq\f(1,2)ar＋eq\f(1,2)br＋eq\f(1,2)cr＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.(2)错误.由三角形面积公式S＝eq\f(1,2)bcsinA得，eq\f(1,2)×2×2×sinA＝eq\r(3)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，则∠A＝60°或∠A＝120°.(3)正确.因为三角形的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×4×sin30°＝6.(4)错误.因为在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＝eq\f(π,2)－∠B.【答案】(3)2.在△ABC中，a＝6，∠B＝30°，∠C＝120°，则△ABC的面积为________【解析】由题知∠A＝180°－120°－30°＝30°.∴eq\f(6,sin30°)＝eq\f(b,sin30°)，∴b＝6，∴S＝eq\f(1,2)×6×6×sin120°＝9eq\r(3).【答案】9eq\r(3)3.在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15eq\r(3)，△ABC的外接圆半径为eq\r(3)，则边c的长为________.【解析】S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝15eq\r(3)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理eq\f(c,sinC)＝2R，∴c＝2R×sinC＝3.【答案】34.若△ABC的面积为eq\r(3)，BC＝2，∠C＝60°，则边AB的长度等于________.【解析】在△ABC中，由面积公式得S＝eq\f(1,2)BC·AC·sinC＝eq\f(1,2)×2·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2)AC＝eq\r(3)，∴AC＝2.∵BC＝2，C＝60°，∴△ABC为等边三角形.∴AB＝2.【答案】2[小组合作型]三角形面积的计算(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，∠B＝eq\f(π,6)，∠C＝eq\f(π,4)，则△ABC的面积为()\r(3)＋2 \r(3)＋1\r(3)－2 \r(3)－1(2)在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，则∠C＝________________.(3)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，则边BC的长为________.【导学号：18082023】【精彩点拨】(1)利用正弦定理求边c，然后利用三角形面积公式求解.(2)由三角形面积S＝eq\f(1,2)absinC与余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)相结合求解.(3)由已知可先利用三角形面积公式S＝eq\f(1,2)bcsinA求出AC，然后利用余弦定理求BC.【自主解答】(1)由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)及已知条件得c＝2eq\r(2)，又sinA＝sin(B＋C)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).从而S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq\r(3)＋1.(2)由S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，即sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).∴sinC＝cosC，即tanC＝1，∴∠C＝eq\f(π,4).(3)由S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，得eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(\r(3),2)，即eq\f(1,2)×2AC×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴AC＝1.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝22＋12－2×2×1×eq\f(1,2)＝3.∴BC＝eq\r(3).【答案】(1)B(2)eq\f(π,4)(3)eq\r(3)1.由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用.2.如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算.[再练一题]1.已知在△ABC中，cosA＝－eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(3,5)，BC＝5，求△ABC的面积.【解】由cosA＝－eq\f(5,13)，得sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(12,13).由cosB＝eq\f(3,5)，得sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5).所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(4,5)＝eq\f(36,65)－eq\f(20,65)＝eq\f(16,65).由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(5×\f(4,5),\f(12,13))＝eq\f(13,3).所以△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)·BC·AC·sinC＝eq\f(1,2)×5×eq\f(13,3)×eq\f(16,65)＝eq\f(8,3).三角形的证明问题在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c.证明：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinA－B,sinC).【精彩点拨】由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开.【自主解答】法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，整理得：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(acosB－bcosA,c).依正弦定理有eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，∴eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinAcosB－sinBcosA,sinC)＝eq\f(sinA－B,sinC).法二：eq\f(sinA－B,sinC)＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(a·\f(a2＋c2－b2,2ac)－\f(b2＋c2－a2,2bc)·b,c)＝eq\f(2a2－b2,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2).1.三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系.(2)由繁推简.(3)目标明确，等价转化.2.三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形.(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形.[再练一题]2.在△ABC中，求证：eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c－bcosA,b－ccosA).【证明】由正弦定理得右边＝eq\f(2RsinC－2RsinBcosA,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sinA＋B－sinBcosA,sinA＋C－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB－sinBcosA,sinAcosC＋cosAsinC－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB,sinAcosC)＝eq\f(cosB,cosC)＝左边.∴原等式成立.[探究共研型]三角形中的综合问题探究1如图1­2­28所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？图1­2­28【提示】在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角.探究2在探究1中，若sinB＝sin∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知AB＝m，DC＝n，如何求出AC?【提示】若sinB＝sin∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.探究3在探究1的图形中若已知∠B与∠C的大小如何表示(或求)∠A，如何用∠B与∠C的正、余弦值表示∠A的正弦值？【提示】∠A＝π－(∠B＋∠C)，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠A＝eq\f(π,4)，bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a.(1)求证：∠B－∠C＝eq\f(π,2)；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面积.【导学号：18082023】【精彩点拨】(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证.(2)结合第(1)问可直接求出∠B，∠C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解.【自主解答】(1)由bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a，应用正弦定理，得sinBsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－sinC·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝sinA，所以sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinC＋\f(\r(2),2)cosC))－sinCeq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB＝eq\f(\r(2),2)，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，因为0<∠B<eq\f(3,4)π，0<∠C<eq\f(3,4)π，从而∠B－∠C＝eq\f(π,2).(2)因∠B＋∠C＝π－∠A＝eq\f(3π,4)，所以∠B＝eq\f(5,8)π，∠C＝eq\f(π,8).由a＝eq\r(2)，∠A＝eq\f(π,4)得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2sineq\f(5π,8)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝2sineq\f(π,8)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)sineq\f(5π,8)·sineq\f(π,8)＝eq\r(2)coseq\f(π,8)sineq\f(π,8)＝eq\f(1,2).1.解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键.2.三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用.[再练一题]3.如图1­2­29，在四边形ABCD中，AC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝1，eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝1，sin∠BCD＝eq\f(3,5).图1­2­29(1)求BC边的长；(2)求四边形ABCD的面积.【解】(1)∵AC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝1，∴eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|·|eq\o(AC,\s\up12(→))|·cos∠BAC＝2cos∠BAC＝1，∴cos∠BAC＝eq\f(1,2)，∴∠BAC＝60°.在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×eq\f(1,2)＝3，∴BC＝eq\r(3).(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2).又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝eq\f(3,5)，∴cos∠ACD＝eq\f(3,5)，从而sin∠ACD＝eq\r(1－cos2∠ACD)＝eq\f(4,5)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD·sin∠ACD＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(2,5)＝eq\f(4＋5\r(3),10).1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝5，b＝4，cosC＝eq\f(4,5)，则△ABC的面积是().6【解析】∵cosC＝eq\f(4,5)，∠C∈(0，π)，∴sinC＝eq\f(3,5)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×5×4×eq\f(3,5)＝6.故选B.【答案】B2.已知△ABC的面积为eq\f(3,2)，且b＝2，c＝eq\r(3)，则()A.∠A＝30° B.∠A＝60°C.∠A＝30°或150° D.∠A＝60°或120°【解析】∵S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3,2)，∴eq\f(1,2)×2×eq\r(3)sinA＝eq\f(3,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝60°或120°.故选D.【答案】D3.在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120°，且△ABC的面积为eq\f(15\r(3),4)，则BC边的长为________.【解析】∵S△ABC＝eq\f(1,2)×3×b×sin120°＝eq\f(15\r(3),4)，∴b＝5，∴由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49，∴a＝7，即BC＝7.【答案】74.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已