高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版学业分层测评21

学业分层测评(二十一)数量积的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝________.【解析】∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝±1.【答案】±12.已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为________.【解析】∵|a|＝8，|b|＝4，b在a方向上的投影为|b|cos120°＝4×cos120°＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2.【答案】－23.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝________.【解析】∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－eq\f(1,2).又a·a＝|a|2＝1，∴a·a＋a·b＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4.在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝13，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(CA,\s\up15(→))|＝12，则eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))的值是________.【解析】∵|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝13，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(CA,\s\up15(→))|＝12，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up15(→))|2＋|eq\o(CA,\s\up15(→))|2，∴△ABC为直角三角形.又cos∠ABC＝eq\f(5,13)，∴eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝|eq\o(AB,\s\up15(→))||eq\o(BC,\s\up15(→))|cos(π－∠ABC)＝13×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＝－25.【答案】－255.若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.【解析】∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)6.设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝________.【解析】∵|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b2＝10，①,a－b2＝6，②))①－②得a·b＝1.【答案】17.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为________.【导学号：48582108】【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，∴a·b＝2×1×cos60°＝1，∴|a－4b|＝eq\r(a－4b2)＝eq\r(a2＋16b2－8a·b)＝eq\r(4＋16－8)＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)8.已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq\f(π,3)，则实数λ＝________.【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcoseq\f(π,3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影.【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×－6)＝eq\r(13).(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为eq\f(a·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).10.已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？【导学号：48582109】【解】∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.[能力提升]1.定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于________.【解析】由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－eq\f(3,5)，sinθ＝eq\f(4,5)，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×eq\f(4,5)＝8.【答案】82.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b【解析】∵(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0，∴a·b＝－eq\f(1,2)|b|2，设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－\f(1,2)|b|2,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.【答案】120°3.在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))＝1，则AB的长为________.【解析】设|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝x(x＞0)，则eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)x，所以eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))＝(eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→)))·＝1－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,4)x＝1，解得x＝eq\f(1,2)，即AB的长为eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围.【导学号：48582110】【解】(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－