高中数学北师大版第二章函数【全国一等奖】

5简单的幂函数(一)时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列函数中，不是幂函数的是()A．y＝eq\r(x)B．y＝x2C．y＝2xD．y＝eq\f(1,x2)答案：C解析：选项C的自变量没有在底数的位置．故选C.2．下列命题中正确的是()A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数的图像不可能在第四象限答案：D解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为两条射线，故A不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图像不过(0,0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图像都不在第四象限，故D正确．3．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()\r(2)\f(1,2)\f(1,4)\f(\r(2),2)答案：D解析：由题意可设f(x)＝xα.又函数图象过点(4,2)，∴4α＝2，∴α＝eq\f(1,2)，得f(x)＝x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2).故选D.4．图中曲线是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取±3，±eq\f(1,3)四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n的值依次为()A．－3，－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，3B．3，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3)，－3C．－eq\f(1,3)，－3,3，eq\f(1,3)D．3，eq\f(1,3)，－3，－eq\f(1,3)答案：B解析：当n>0时，幂函数在(0，＋∞)上为单调递增函数，当n<0时，幂函数在(0，＋∞)上为单调递减函数，并且在x＝1的右侧，图象自下而上所对函数的幂指数n依次增大，故选B.5．函数y＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，则()A．m＝－1，或m＝2B．m＝－1C．m＝2D．－1＜m＜3答案：C解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,m2－2m－3＜0.))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2＝0,－1＜m＜3.))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，或m＝－1，,－1＜m＜3.))⇒m＝2.6．当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xa的图像恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是()A．0＜a＜1B．a＜0C．a＜1，且a≠0D．a<1答案：D解析：如图(1)所示，当0＜a＜1时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图像恒在直线y＝x的下方；如图(2)所示，当a＜0时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图像也符合条件．如图(3)，当a＝0时，对x∈(1，＋∞)，符合条件．二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．数，，按从小到大排列为________．答案：＜＜解析：因为幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数且＜，所以＜且都大于1，而＜1∴＜＜.8．当α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．答案：二、四解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限．9．函数y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实数，则m的取值范围是________．答案：m＞2解析：要使y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实数，则需mx2＋4x＋2＞0对一切实数都成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ＜0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,42－4m×2＜0.))解得m＞2或m＝0.故m的取值范围是m＞2或m＝0.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．将下列各组数从小到大排列起来，并说明理由．(1)，(－，(－eq\f(1,3))；(2)，，(－；(3)，，.解：(1)∵(－＝＞0，(－eq\f(1,3))＜0，又y＝x在(0，＋∞)上单调递增．∴(－eq\f(1,3))＜(－＜.(2)∵＞1,0＜＜1，(－＜0，∴(－＜＜.(3)＝(eq\f(25,4))，＝4，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，又∵y＝x在(0，＋∞)单调递增∴＜＜11．求下列函数的定义域、值域和单调区间．(1)y＝(2x－1)；(2)y＝(x＋2)－1.解：(1)2x－1≥0，x≥eq\f(1,2).∴定义域为[eq\f(1,2)，＋∞)，值域为[0，＋∞)．在[eq\f(1,2)，＋∞)上单调递增．(2)x＋2≠0，x≠－2，∴定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，值域为(－1，＋∞)．在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减．12．点(eq\r(2)，2)在幂函数f(x)的图像上，点(－2，eq\f(1,4))在幂函数g(x)的图像上．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．解：(1)设f(x)＝xa，因为点(eq\r(2)，2)在幂函数f(x)的图像上，将(eq\r(2)，2)代入f(x)＝xa中，得2＝(eq\r(2))a，解得a＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xb，因为点(－2，eq\f(1,4))在幂函数g(x)的图像上，将(－2，eq\f(1,4))代入g(x)＝xb中，得eq\f(1,4)