2017春季下五年级尖子教师版

平 平[必记平方数[平方数的余数特征

本讲巩固1、本讲巩固3、4、、……这些数有什么共同的特点解】分别是1、2、3、4、5的平方算一算：24、90、100、144、 这些数各有多少个因数解】因数个数分别为、、、 个A×A=576，那么A是多少计算：3761分别除以3、4、8的余数是多少？分别余2、1、1.完全平方数的个位数字可能是什么?除以4的余数可能是什么个位可能是0、1、4、5、6、9，除以4的余数可能是0子8方数闪而开 闪而是0布字方x他：一个定话说数学家卡布列克在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边块牌子被电劈成了两半，一半上写着3，另一半写着25.凭着数学家对数的，忽然发现个神奇的现象：30与25的和5555的平方恰是0布字方x他：一个定这引起了卡布列 他想还有没有类似的数字呢 此他就 搜集这 字.当然

有很多 初等数我们以4位数为例，介绍一种利用位置原理解不 程的方为的设该数前两位为x，后为的xyxy1

y，则有xy2100y99xxy从而看出x xy1中有一个是9的倍数，另个是11的倍数(99是例外)，从找出符条件的数为44、 99，对 是4522025，5523025，9929801，而像这种数的平方可以分割为两个数字 这两个 相加后恰等于原数的数，我们就叫做“雷劈数而

以指

了，比 二进制 五年子班8

认识平方数完全平方数的定义一个整数乘以自己，如：121122223233都是完全平方数.常用的完全平方数02721422122821282152222292229216223230232102172242312421121822523225212219226262132202272完全平方数的性质例 ⑴写出1222、32、……202的得数.观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数个位有N123456789N⑵根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗?为什么⑶进一步判断，1000是平方数吗 呢?为什么[必记平方数五年级春季尖子班第8讲完全平方数教师 n1n146从结果可以看出平方数的个位只有0、1、4、 6、9这六可能，且排序时 1、4、、、、、、

⑵平方数的末位只可能是0、1、4、5、6、9，不可能是7故 可能是平数 ⑶整十数的平方是整百数，末尾2个0；整百数的平方是整万数，末尾4个0； 数的 方末尾6个 尾只有 0时，说明其乘法分拆中存在101010，无千凑成法个相同数的乘积.1000、1004000都不是完全平方例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------⑴1000更接近 的平方⑵非零自然数的平方按大小排成

，第92个位置的数字 [必记平方数解析】3029003129613221024，因此100032的平方解析】⑵1~3的平方是一位数，占去3个位4~9的平方是两位数，占去12个位置；10~31的平方是三位66个位置131，81个位置 从92减去1，还有11个位置．从32到99的方都是 数，共占去272个位置.因此第11个位置一中某个数的平方中的一个数字．因为1124334平方的第三个3421156，因此数字为练------------------------------------------------------

-----------------------------------22501之间存在哪些数的平方⑵请分析：11025是谁的平方?1764 的平方谁解】211225012500502，所以这些2，3，……

[必记平方数⑵11025大约是10000多一点， 是100多一点的数 方；但1102=12100>11025，应知答案在100至110之间；又其末位为5，故知只能是105的平方；1764>1600=402 1764<2025=452，故知答案在0至45之；又其 为4，故知只能是 平方 五年子班8

偶指奇因地,因数个数为3的自然数是质数的平方；例 ，b的最小值是 [偶指奇因2402435，要想使乘积或商是一个完全平方数，则每一个质因数都必须成对出现.那么必须乘或除以因数3515ab15.例 ⑴从1100100个自然数中，有奇数个因数的自然数有哪些[偶指奇因数个因数的自然数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100224,3295225,7249练一

从1到400这400个自然数中，有奇数个因数的自然数有 个.有且仅有3个因数的自然数 五年级春季尖子班第8讲完全平方数教师 例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，灯各有一个开关.，所有 灯都不亮.100个人依次进入房间，1个人进入房间后，将编号为1

下数的灯的开关按下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一

，然后离

；如下去，直到第100个人进入房间，号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开.问：第对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，当它的开关被按奇数次时，灯是开 ；当它开关被按偶数次时，灯是根据题意可知，当第100个人离间后，一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数；要求哪些灯还亮着，是问哪灯数．所以用平方数编号的灯是亮着的

因数有奇数．显然完全平方数奇1～100的完全1，4，9，16，25，36，49，64，81，100所以当第100离间后，房间里还亮着的灯的编号是 模块 余数特完全平方数的5301；完全平方数除以8只可0,1完全平方数除以16只0,1,4例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------⑴111，111，1111，有多少个平数⑵114，144，1444，14444，……，这些数中有多少个平方数[平方数的余数特征解】⑴由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶 而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被，

余数都是3，所以只有1⑵共3个，分别是1，144，1444(38的平方 4443611111143 五年子班8(ab)2a2b22ab，3231.证明过程如下：(3n2)23n)223n2229n212n40011(mod3)40后可得到(2n1)24n24n121(mod4)或(2n1)24n)24n121(mod4).判断下面有没有平方数?[必记平方数解】平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，因此182，233，387，688都不是平方数.284介于172和182之间，因此也不是平方数. 是不是平方数?如果是，它是谁的平方；如果不是，那么它介于哪两个平方数之间360与a相乘之积为完全平方数，求正整数a的最小值.[偶指奇因36023325amin251010000以内的自然数中，有且仅有3个因数的自然数有多少个?[偶指奇因少年宫游乐厅内悬挂着250个彩色灯泡按1~250编号.它们的亮暗规则是1秒全部灯泡亮第2秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态.这样继续下去，第250秒时，亮着的灯泡有 2501~250中有多少个完全平方数，所以答案为15个开学前，宁宁拿着给的30元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支4元，铅笔每支3元.宁宁五年级春季尖子班第8讲完全平方数教师 解】由于题中圆珠笔与铅笔的数量都不知道，但总费用已知，所

据不定方程分析两的数量，进而得解．设她买了x支圆珠笔，所以3y304xy103因为x、y均为整数x应该能被3整除，x3时y6xy9x6时y2xy

铅笔， 意列方程：4x3y又因为1 7，所以x3或所以宁宁共买了9支笔或8支笔用200克盐，加水稀释成浓度为5% 水，则需 2005%400040002003800求阴影面积(单位：厘米π取3.1440÷223.1440÷22÷2424562912 计算75 1717 1051 解析

；17；

将下列分数化成小数8将下列小数化成分数 解析528 年 五子班8年+[定义新运算进阶+[分数四则混合运算[分数比较大小]★★★★ [放缩与估算]★★★ 本讲巩固51、比较0.01、0.1、0.12、0.121的大小,并用“<”连接2345的大小,并说明为什么.777呢 34577 【答案】1616 4、将1.505，1.05，155%，1.5从大到小排列 【答案】1.51551.5055、在55、5.5和55.5%这三个数中，最小的数 91五年级9讲比较与估算教师版1费米估算法美籍意大利物理学家恩利克·费米把笔记本里的一页纸撕碎了，40秒钟后，震波传到费米和他的同心算之后费米宣布，能量相当于10000吨的能量．一些尖端的仪器设备花了数星期时费米不仅仅是一位伟大的物理学家，同时还是一位启发学生思维的教育家，他特别喜欢用估2555100050位钢琴调音师．事后有人229分数小数比较大小的一般方法例 ⑴把下列小数用“<”连接起来：1.121，1.121，1.121.12121971310的大小，用“>”连接起来 ⑶比较3.1422355、的大小 [分数比大小【分析】→1.121→1.121→1.121→1.120 . 13大于1，且1310499 10小于1，且79190 . 1397所 9 3.1430.14，3 30.142857 3 30. ，3 显然0.14

0.142857，所以

35522 3五年级9讲比较与估算教师版3练一

.7

.，0.571428，57%

9[分数比大小

90.571428，57%=0.579

940.5714280.57142857 例 ⑴用“＞”13935 ⑵把下列分数用“”号连接起来： ，12，15，20， [分数比大小 【分析】⑴法1：通分母， ， ， ， ， 容易得到 21比较，1311911311511711 579 2

2 2 213136 6,9 4,32,5 2,7 因 因 ＞2＞2＞1，即＞＞＞＞ 、、 1060，12601560206060606060606060 就是1020121560 练一

25151012如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数 [分数比大小4五年级9讲比较与估算教师版4此我们可以用通分子的方法，分子的最小公倍数是60．给出的5个分数依次等于：6060606060比较分母的大小,居中的分数是60即12. 92 糖水原理⑴若0b1,mbb⑵若0bd1bbd a a ac，则bcad例 比较以下各数的大小：⑴ 515 5 5 616 6 6⑵ 515 5 5

，你发现什么规律了吗?根据这个规律可知：

5m○ 6○ 6m.（内填大于、等于或小于m0的自然数○ 5

[分数比大小5五年级9讲比较与估算教师版5例 4大，5 ⑵满足下式的括号里的数有多少个自然数：1 51 ( [分数比大小]1：4599455 1144+1

111+4 283 712和之间的一个分数； 2：首先判断第一个不15，因此（）35， １ 等号两边的关系，3

，因此 ）15．根据以上分析，可以确定（）中能教法提示：在讲“糖水原理”中的第一条时，教师可以用糖水浓度进行讲解，首先说明糖的重量小于糖水的重量，糖水越甜，说明糖与糖水的比值越大，把b看成糖，a看成糖水，再 a混合，混合之后的浓度一定在两者之间例 11111的大小.你能想到多少种办法 ⑵比较大小：

44443（填”，

[分数比大小]6五年级9讲比较与估算教师版6【分析】⑴法1：通分母.11111111 111111111 11 21111111 111111111111111 因此

.法411110

，111110

，11.倒数大，原数小.因此11111

；；

111111.10.11 0.1111. 法6：化小数.利用abc .

1199 0.099099 0. 0.09111

0.099 11111 7111101101 1110 11110444404444044440344443 88884 拓展队，三队中得失分率最高的出线，一队得失分率为得的总分，如A队得失分率为8376， 73队 队出线【分析】A，B，C三队的失分率8376159;7388161;798416373 15783 16288 A是大1所A最大,则A队出线7五年级春季尖子班第9讲比较与估算教师版 7放缩法求整数部分例 ⑴算式111 1的整数部分 ⑵已知:A1111111，则A的整数部分 【分析】⑴111 1111 1 11 1111 1 ⑵A1(11)(1111)1(11)(1111) A11(11)(111)11(11)(111)2 7

[放缩与估算]8五年级9讲比较与估算教师版8bd，则bcad ⑴若0b1,m⑵若0bd1bbdabb a a 比较下列分数的大小，说一说你的方法 [分数比大小]⑴87 79 30⑵35 74； 1723 30【分析】⑴同分母，同分子，直接比较.877> ⑵3<5，7>4，17< 请把2，3，5，15按照从小到大的顺序排列 [分数比大小] 【分析】通302303305301530 32515 在1111，1212，1313中，最小的分数 [分数比大小] 1111

1212

1313

1112 ，同 ， ，根据糖水原理，，所以最小的分数是 9五年级9讲比较与估算教师版91111用多种方法比较9、8、17的大小 [分数比大小] 【分析】可以用多种方法，用交叉相乘得到，911138，所以9 ，用糖水原理998178 13 111111121011 1314

15

1111

15

5

[放缩与估算2 11 14 2 把50克浓度为50%的盐水和100克浓度为20%的盐水混合问混合后盐水的浓度是多少【分析】混合后505010020%100%30%50计算阴影部分的面积.（图中数据单位：厘米）（π3.145223.1445525÷239.252514.25（平方厘米324是谁的平方?324分解质因数上坡的路程和下坡的路程相等，一辆汽车上坡速度与下坡速度的速度比是3∶5，这辆汽车上坡与下坡用的时间比应是【答案】甲、乙两车往返于A、B两地之间．甲车去时的速度为60千米每时，返回时的速度为40千米时；乙车往返的速度都是50千米每时．求甲、乙两车往返一次所用时间的比．五年级9讲比较与估算教师版【解析】一条公路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1:2:3，张叔叔骑车经过各段路所用时间之比是3:4:5．已知他在平骑车的速度是每小时25千米．他行完全程用了【答案2.4620254544345122.4 1五年级春季尖子班9估算11程1程1[比例行程基本知识

1、23、45A、B两地相距100米，小明从A地去B地，每秒走1米，则几秒可以走完【答案】100小明A地去B地，若每秒1米，则100秒可以走完;若每秒走2米，则多少秒可以走完【答案】50AB，原计划10分钟到;出发时，速度提高到原来的2倍，则现在几分钟到【答案】5化简下列比：39: 2:3

119:6 18:10【答案】13154:93:4【答案51206米/

比计划快了20%，那么小明实 度是每子10行程师开放视 小狗跑了多远美以距学和个无；约翰·冯·诺依曼 ann，1903~157， 美以距学和个无；人这倍诺计间的诺 人这倍诺计间的诺

算机之 博弈论的青到而国共是，，那米前据说在一次晚宴上，一个年轻人曾经问过冯·诺依曼这样一个问题：两个人相隔200米各以每分50米速度相向行.一只小狗从一个人里出发，每分钟75米的青到而国共是，，那米前跑个不停，直到两人相遇，小狗跑过的总距离是多少应依每这个问题应该很熟悉了，两人相遇的时间就是小狗跑的时间，用时乘狗的速就是答案了.苏步先生在德的一个公汽车上，也问过类似的问题.个题对大数学家冯·诺曼自然不是难事了，他沉吟几秒后回答：150，提问的年轻很失望，说你以前一定听这应依每

曼说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次 都算出 然后算那么冯·诺依 怎么计算的呢？我们设小狗从一个人跑向另一个人视为一趟，第n 人之间离为an，那么小狗花费的时间 70

一趟两

，那

75

5050化简 a

也就 一趟小狗跑的距离是下一趟距离的 ，第一趟小狗跑了75 120米而小狗跑的总距离就是120120120 n可是穷大哦75 1、多学习几种方法，只局于自己 惯很容 入惯性思维——像冯 依曼一2、如果只习惯用自己的方，那么 到炉火 ——像冯 依曼一样 班10行程师比例法的基本应用①当时间一定时，路程之比等于速度之比，即TTSSV:V②当速度一定时，路程之比等于时间之比，即VVSSTTSSVT甲VT乙例 A、B两地距300千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发⑴甲车的速度是30千米/时，乙车的速度是20千米/时.相遇时距A 千米⑵甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时.相遇时距A 千米⑶甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是20千米/时.各自走完全程，两车行驶的时间之比 [比例行程基本知识【解析】⑴距A点180千米，时间相同，速度和路程成正⑵距A点180千米，相遇的位置和速度的比值有关，和速度的大小无关.5⑷8例 ⑴甲乙两人的速度比为4:5，两人同时出发，行走的时间比为3:7，则甲，乙走的路程比 ⑵甲乙两人要走的路程比为3:2，甲乙的速度比为4:3，则甲乙的时间比为⑶甲乙两人的路程比为7:8，两人用的时间比为6:5，甲的速度为70千米/时，则乙的速度为[比例行程基本知识4⑶783548706练一

3:5，两人同时出发，7:4，42千米，[比例行程基本知识3五年级春季尖子班103模块 行程的正比例型行程的正比例模型是指时间一定，路程和速度成正比在没有发生变速的情况下，路程比

正比例于相遇及问题， 若甲乙同时出乙，速度比为x:y，设两人所行路程和为S，则两人所行 比为x: 甲走路程

Sx

走的路 Sx--------

---------------------------------------------------------------------------------甲乙两人同时从A地出发前往B地，甲骑车的速度是15米/，乙步行的速度是5米/秒，如果甲到达B地后立刻返回，请问两人在哪里相遇?如果两人到达B地后都立刻返回，第二次相遇在哪里?(学生版只出现第1问)[行程中的正比例模型【解析】甲乙两人的速度比为3:1，共走完了2倍的全程，所以乙走了2 1

1，两人在中点2两相遇.第二次相遇时 人共走了4倍的全程，所以乙走了4 1

1，两人在B点相--------

---------------------------------------------------------------------------------甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都 千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生最短时间内到达公园，设两地相距

千米，那么各个班的步行距离是多少[行程中的正比例模型 【解析】由于汽车速度是甲乙两班步行速度的 倍，设乙班步行1份，汽车载甲班到A点开始返回到 BDBA1:[(121)2]15.5A

终与乙 时到达点，汽车又行走了12份所以总路程分成1 17.5(份)，所以每份1507.50(千米所以各个班的20千米 班10行程例 (学生版仅有⑴⑵两问早上8:00，菲菲从家步行去上学，3分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家200米的地方追上了她;追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回去追菲菲，在离家400米的地方再次追上了她，追上后又立刻往家跑去到家后又立刻去追菲菲，刚好在学校追上.请问:⑴狗的速度是菲菲的多少倍⑵菲菲家到学校的距离为多少⑶菲菲到校时间是8点多少分[行程中的正比例模型V狗:V菲S狗S菲3家

学 菲菲到学校需4.5800=18即 即8点18分练一

上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分?

[行程中的正比例模型图上可以看出，从第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4（千米）.而骑÷4=3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，可以骑行8×3=24（千米）.但事实上，少用了8分钟，骑行了4＋12=16（千米）.少骑行24-16=8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16=32.所以这时是832五年级春季尖子班第10讲比例法解行程教师 模块 行程的反比例型速度

相互转

①如果已知的两个量在同一个圆中，我们可以通过差倍问题的方法

，求出速

②如果已知的两个量不在同一个圆中，我们可以通过转换速度与时

间的比，变或类型 特别注意:比可以 转换， 不能转换例 ------------------------

-----------------------------------------------------------------⑴若速度提高20%后，每小时快了20千米，3小时到达B地，A、B两地距离⑵若速度降低了25%后，推迟30达到，B地所需的时间⑶若速度降低15千米/，时间增6

的速度⑷若速度提高20%，提前1小时到达;如果以原速行驶100千米后再将车速提高30%，也是前1小时到达，求A、B两地距离 [行程中的反比例模型【解析】⑴速度的比为5:6，速度的差为20千米/时，A、B两地 20×6×3=360千米所需的时间为30×3=90分钟=1.5小时.原来的15×7=105米/时.⑷根据题意可知车速提高后与原来速度比为

2016:5，由于所行路程相同差用时间56，所时间

速时，即1份是1小时，所以原来 全程需要6小时推同理可求出行完100千米后， 提高30％速度比值

1130%)10:13，时间比13:10这样节省了3份，节省1小时，可 出行驶100千米后

路程的原间为 )3 班10行程练一

20%，1小时到达;驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地相距多少千米[行程中的反比例模型【解析】车速提高20%，速度比为5:6，路程一定的情况下，时间比应为6:5，所以以原始速度行完45，所用时间比应该为5:4，提前40405200(分钟)，即33

小时，进而用行程问题公式很容易求出甲乙两地相距1206316270 3 A、B两地距270千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发⑴甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时.相遇时距A 千米⑵甲车的速度是63千米/时，乙车的速度是42千米/时.相遇时距A 千米[比例行程基本知识【解析】⑴距A点150千米，时间相同，速度和路程成正⑵距A点162千米，相遇的位置和速度的比值有关，和速度的大小无关.⑴甲乙两人同时出发，速度比为2:3，行走的时间比为3:5，则甲，乙走的路程比 ⑵甲乙两人要走的路程比为5:4，甲乙的速度比为3:2，则甲乙的时间比为[比例行程基本知识3AB地，5:1，B地后立刻返回，请[行程中的正比例模型1 李经理的每天早上7点30分到达李经理家接他去公司.有一天李经理7点从家里出发去公司，遇到从公司按时来接他的车，再乘车去公司，结果比平常早到5分钟.则李经理乘车的速度是步行速度的 倍.(假设车速、步行速度保持不变，汽车调头与上下车时间忽略不计)[行程中的正比例模型 五年级春季尖子班第10讲比例法解行程教师 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 ，可以比原定时间提前1小时高

达．如果以原速行驶160千米后，再将速度提 25，则可提前40分钟到达．那么，甲、乙 地相距多 行程中反比例模型 计划行 时间为1166

第二次我们用同样的方法求提速的那一段路程原计划所用提提，

，节省了，所

提速一段路程原计

40110

么可以求出以原

所160千米用时两 地距离为606两 (千米圆心角为36的扇形的弧长为3.14厘米则这个扇形的面积 平方 .(取，r362r3.14r=5因此扇面3652 两个整数的平方和为313，则这两个整数的和 【解析】平方数的尾数为0，1，4，5，6，9，只有尾数为49

数相加数为3.枚举尾数为4 9的平方

4，9，49，64，144，19，289，发现只有144169=313，因此这两 数的和试比较下面几个数的大小4,0.1667, 【解析】4 10.1666，因此:41 填空 【答案】6、1、2、0；37、计算 【答案】计算 【答案】11111946班 五年级春季尖 第10讲比例法解行程教师班+[不定方程[完全平方数[位值原理的表示] 本讲巩固1、[位值原理的完全拆分★★★本讲巩固3、4[位值原理的整体换元]★★本讲巩固5123中有几个100，几个10，几个abc中有几个100，几个10，几个【答案】 cdef 1000 100 10 abba的和 b (a+b),一定是谁的倍数111值原师1数学——冯·诺依据他原理制造的，冯·诺依曼打破常规，提出计算机采用二进制而不是我们习惯的十进制编码，“我从昨天晚上一直算到今晨4点半，总算找到那难题的5种特殊解答.它们一个比一个更难咧！”说把题目讲给他听，教授顿时把自己该办的事抛在爪哇国，兴致勃勃地提议道：“5种大家都想见识一下教授的“神算”本领.只见冯·诺依曼眼望天花板，不言不语，迅速进到“入定”状22位值原理的认识22个百，这种数字和数位结合起来表示数 ，…，a，a是09中的一个，a0Na10r r10r1 a10a例 填空⑴3652022021002102⑵aaa；abc；aabb；⑶abcdabcaabcd⑷ab1234ab23ab1234⑸9a8b7ab⑹ab+ba=a(ab)[位值原理的表示【分析】311值原师3例 ⑴用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和 ⑵三个不同的非零数字a,b,c共可以组成6个不同的三位数，这6个三位数之和一定是 ⑶三个互不相同的数字，可以组成6个不同的三位数，知道这6个三位数的和为2886，那么： .[位值原理的表示【分析】abcacbbacbaccabcba222abc222的倍数⑶a、b、c222abc2886abc13931.练一

从1～9 九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小可能值是 ,最大可能值是 [位值原理的表示【分析】a、b、c.由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不它们组成的三位数最小为159，最大为951.位值原理的完全拆分例 一个两位数，是它各个数位数字和的⑴5倍，求这个两位数⑵7倍，求这个两位数

[位值原理的完全拆分aab7(aba2b,数字解有b

a，b

a，b

a，b

411值原师4练一

在一个两位数的中间加上一个0,得到的新数是原来数的6倍，原来的两位数 [位值原理的完全拆分例 (学生版仅有2问abcdabcaba1370,求abcd⑵已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2014，则所有这样的四位数之和为多少⑶一个四位数，将其4个数位上的数字求和，再加上原来的四位数，得到一个新的四位数;再将得到的新四位数4个数位上的数字求和，再加上这个新的四位数，又得到一个新四位数;如此操作四次，最后得到的数是202，问最初的四位数是多少?[位值原理的完全拆分【分析】⑴⑵abcdabcdabcd2014abcd20061988，所以所有四位数之和为200619883994．⑶abcdabcdabcd2012abcd2005或abcd198719791970;再倒推，可得到第一次得到的数为19571948;第一个数为19371928.例 一个4位数，它和它的反序数的和是以下4个数中的一个：①8656;②8657;③8658;④8667.这两个位数的和到底是多少[位值原理的完全拆分abcd＋dcba(1000a100b10cd)(1000d100c10b1001a110b 倍数，因此和为8657.例如：4783 511值原师5拓展以五位数为例说明：其原序数和反序数之差一定是99的倍数【分析】abcde－edcba b100c10d d100c10b9999a990b990d拓展一辆汽车进入高速公路时，处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行驶，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又经一小时后看到里程碑上的数是处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.(100a+b)-(10b+a10b+a)-(10a+bb=6a，0≤a,b≤9a=1，b=6;即每小时走 09中的一个，a0，有Na10rar110r a10a1abcdefa100000b10000c1000d100e10f1000abc位值原理的整体拆分例 一个六位数，把它的末三位和前三位整体换位，得到一个新的六位数，并且原六位数的7 倍正好等于新六位数的6倍.原来的六位数是 [位值原理的整体换元得7(1000xy)6(1000yx),化简得6994x5993y，即538x 所以x=461，y=538，611值原师6填空：1x2y3z x2 y3z

[位值原理的表示3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这个数字的和 [位值原理的表示abc100a10bc，acb100a10cb，……，它们的和是：222abc1554，abc15542227.在一个两位数的中间加上一个0,得到的新数比原来大8倍，原来的两位数 [位值原理的完全拆分已知一个四位数加上它的各位数字之和后等 2008，则所有这样的四位数之和为多少[位值原理的完全拆分【分析】设这样的四位数为abcdabcdabcd2008，即1001a101b11c2d2008，a1或2．⑴a2，则101b11c2d6，得bc0d3abcd2003⑵a1，则101b11c2d1007，由于11c2d11929117101b1007117890，所以b8，故b9，11c2d100790998，则c且11c982980，故c7，由c为偶数知c8d5abcd1985 3988一个六位数，6.6移到第一位，4倍.这个六[位值原理的整体换元即40x24=600000x，39x599976x711值原师7下列四个数中哪个数是完全平方数 A. B. C. D.将下面的数按从小到大的顺序排列起来2312 ,, 3413【分析】237 小明从A地去B地，若提速50%，则可以省1小时，那么原计划 小时一个长方体的长，宽分别是6厘米，5厘米，体积是120立方厘米，则此长方体的高是 【答案】72厘米的小正方体堆叠而成的几何体，求该几何体的表面积.[三视图求表面62的小正方体，表面积变成了多少?[长方体挖【答案】811值原师81和1和

本讲巩固1、2、4、本讲巩固正方体有几个面?几个顶点?几条棱【解析】下图能否拼成一个正方体【解析】不能请用两个“×”、两个“○”和两个“”标示出下面展开图的三组对立面，观察每个展开图的对立面，你能不能找到对立面在展开图上的规律呢?【解析】如下所示，对立面在展开图上相间不相邻下图是由5个棱长为1厘米的小正方体堆叠而成的几何体，求该几何体的表面积。【解析】22平方子班12体师下图是由一些棱长为1厘米的小正方体堆叠而成的几何体，该几积可能是多【解析】9立方厘米或10立方开放视 不可能图AC！坐

积木的玩 已，然而不相信？如果我们只看白色这个平面，那么在三 标系中，A、B、C在一个平面中它们应，是处于同一高度，然而我们再看灰色部分就会发现：“A竟然在B的上方”，显然这是自相的 它是只会在二维世界存在的一种图形。它是由人类的视觉系统瞬间意识 一个二 形的三投射而形成的光学错觉，在几何意义上它是不可能存在 这个图形叫做“彭罗斯三角形”，它最先被瑞典艺术家奥斯卡创造出来，而后在20世纪50数学家彭罗斯所推广。其特点被以不可能图形为灵感来创作的艺术家埃舍尔 作品中 地体现

斯阶梯彭罗斯阶 彭罗斯正方形 春第图少 五年级季尖子 12讲立体形和空间想象教师春第图少立体图形展开图正方体展开图口诀：正方体展开图口诀：对面相隔不相连，识图巧排7凹田.1411类不同的展开图；141型(四方成线两相1种．相对的两个面展开后不相连，展开图不可能出现以⑴正方体的展开图 种，你能都画出来吗A. B. ⑵下图表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是A、B、C、 中 3五年级春季尖子班12讲立体图形和空间想象师3⑶将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后

，得到的图形 【解析】

[图形展开图]1：141

开图， 老师先讲第⑴题，再讲其他小题2：2313：33⑵B,三条线段互相平行，没有公共⑶三个图形所在面有公共顶点，因此A、 错误；以圆为顶，五角星应该

方块的顺时针D错误，C正确例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------⑴把下面这个正方体展开之后，究竟哪个展开图是正确的?你能把错误的图形改正确吗 五年级春12讲立体形和空间想象师图⑵正四面体有几个面、几个顶点、几条棱?把下面所展示的正四面体ABD展开之后，究竟哪个展开图是正确的?A C 【解析】⑴A图错在三面不是相邻三面，可把最右面的副对角线擦掉，或把最中间的副对角线擦掉，改画上面或下面的正方形的主对角线；B图正确；C图错在对角线方向，把三个对角线都改成副对角线即可；D图图案相对位置都正确，但展开图本身错误，可把上方的正方观察棱DC可知“×”与“□”的相对位置关系，便能知道选项A、D都是错误的；C的图案练一

图2为正方体图1的展开图．图1中M、N分别是FG、GH的中点， 试在图2中画出这些线段.CADCBCADCBBHN 五年级春季尖子班第12讲立体图形和空间想象教师 N

HNGDCGM DCFM掌握化体为面的方法，注意标出对应的点

模块 已知视图求三例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------

都是1，请问这个立体图形的体积是多少 正视 俯视 侧视⑵如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个几何体，小明正确地画出了这个几何体的正视图、 [三视图求 五年级春12讲立体形和空间想象师图12123111铺垫已知某立体图形的三视图如下，每个小正方形的边长都 1，请问这个立体图形的体积是多少正视 俯视 侧视11211222例 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图a，从正面看这个立体图形，如下图b，则这个立体图形的体积最大是 7五年级春季尖子班12讲立体图形和空间想象师7【解析】最大值：21221212最小值21111212练------------------------------------------------------

-----------------------------------小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下块那么他最多用 块木，最少用 块木块

从侧面看如右下图[三视图求31312321223123310000200003[教学提示]由三视图求原图形时，可以在俯视图上标数确定原图形的体积拓展（操作趣题一个底座上有一个立方体，立方体只有一面能给底座印上颜色，初态如左图示；立方 只能沿底座上的方格无滑动地来回滚动，请在右图中把所能被印色的部分出来 五年级春12图形和空间想象师 【解析】利用一个2´3的部分，转换的方向，就一定能印满整个棋盘，但本题中间只是一个2´2综合应用例 下图是一个五棱柱的平面展开图，图中的正方形边长都为4．按图所示数据，这个五棱柱的体积等 2 9五年级春季尖子班12讲立体图形和空间想象师9【解

为一 形和一个矩形 ，算 截面 乘以 即可 S底4422214，VS底h1445644224例 ------------------------

-----------------------------------------------------------------⑴一个无盖的铁皮展开图如下图所示（图中数据单位：米，求这个的容积745⑵现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你 做一个深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米，故

[图形展开图]【解析】⑴长+宽 宽+高=4，长+高 长=4，宽=3，高=1，容积为43112（立方米，⑵情况⑴如下左图，在4020的长方形铁皮的四角截去边长5厘米 方形铁 然后接成长方体无这个

皮盒的长405530(厘米)．宽20550(米高5(厘米)．体积301051500情况⑵如下中图，在4020长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(2块紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成

的无盖铁皮盒的长40 535(厘米)，宽205510(厘米)，高5(厘米)， 351051750(立厘米 情况⑶如下右图，在4020的长方形铁皮的左右两侧各割下一条 5厘米的方形皮(共2)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的 的40555520(厘米)20(厘米)，高5(厘米)20205米(立方厘)2000 焊 五年级春12讲立体形和空间想象师图切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，如图所示，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是．CABCAB 【解析】 中有较明显的错误，图示的地方连接有误 B xx2(124)212257面的最短路线长度yy212214)2169132z2(121)242185，可见最短路线长度是13．17（1），正视 俯视 侧视31111133111113五年级春季尖子班12讲立体图形和空间想象师沿图的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积 立方厘米78厘5a,bc

aac8bc

ab4，体积为34560c 某种药盒的展开图如下所示，如果长方体盒子的长比宽多4厘米，求这种药盒的积．[图形展开

长高宽长高宽2b2h2b2hab

bbc

体积为95290立 比较下面两个数的大小：911

【解析】0.808081 甲和乙分别从AB地，甲乙的速度比为2:3，甲比乙提前2小时出发，结果甲共用3小时到达．那么当甲到B地时，乙还需要 时才能到 【解析】甲乙的速度比为2:3，那么路

-同的情况小，时间比是3:2.所以若甲用 时，那乙用2小时.甲到达时，乙还需 3+2= 时才能到ab5=29(a+b)（其中a、b均为数字）则ab 【解析】100a10b529a29b，即71a519b，见a应当于3，枚举可知a b4．ab 春 五年级12形和空间想象师一个扔两次，所得点数之和 种不同的情况一个黑色盒子中放有5个小球，分别为红色、黄色、白色、蓝色、绿色．⑴从盒子中拿出两个小球，那么 种不同的情况⑵从盒子中拿出两个小球，其中一个是红球的 种不同的情况 C210C1 从A、B、C、D、E、F六位同学中先选出2个人扫地，再选出2个人拖地，一共有 C2C215690 五年级春季尖子班12讲立体图形和空间想象师+[基本概率]★★★★ [计数计算概率]★★★ 本讲巩固3艾迪切下一整块蛋糕的1打 不同意，便从艾迪的蛋糕上切掉一部分，只剩下 给他吃，请问最终艾迪只吃到一整块蛋糕的几分之几【答案】133 般来说，投掷一枚硬币结果是正面朝上或 朝上的可能性是相等的，各自占 ；艾2有一次凑巧连续投掷出10次正面，请问他第11次投掷出正面的可能性是多少？2薇儿抛一枚两次,一共会出现多少种不同的情况?和为 的情况占总数的多少36，老师从10个人里选出3个人参加游戏，有多少种不同的选择方法？【答案】C31098120 32105个人执行任务，其中艾迪和薇儿都被选中的情况有多少【答案】C387656 321五年级13率初1换还是不换？这是个问题！后面则各藏有一只，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车。当参赛者选定了一扇门，但未打开之前，节目打开剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只。之后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。汽车的概率都是1，换不换都是一样的。21我们的选择有下列三种可能的情况，全部都有相等的可能性︰3 一号。转换将失败，参赛者挑汽车，挑二号。转换将失败。此情况的可能性为：11111。 2这个概率是

2五年级13率初2认识概率朝. 朝上 mn需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出做不确定事件,概率是0到1之间的一个数；有些事情是一定发生的 从东方升起),这样的事件叫做必然事件,概率是1；有些事情 掷出7点),这样的事件叫做不可能事件,概率是0.(学生版只有1、2、有数颗质量分布均匀的正方体,六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,且相对的两面的和是如果抛1 ,数字“2”朝上的可能性 如果抛2 ,点数之和为6的概率 .点数之积为6的概率 如果抛2 ,所得两个数的乘积大于10的可能性 艾迪、薇儿和大宽三人玩掷的游戏：将两颗一起掷出,看朝上两个数的和是多少．和 算艾迪胜；和是7,算薇儿胜；和是8,算大宽胜.他们三个 获胜的可能性最大如果将7颗投掷后,规定：向上的七个面的数的和是10则甲胜,向上的七个面的数的和是39则 【分析】(1)161,5,2,4,3,3,4,2,5,1点数之积6的情况162,3326,1

为41 61524334251,716253443526182635445362,和为7的情况最多,薇儿胜的概率最大；五年级春季尖子班第13讲概率初 练一

100张卡片,1,2,3,…,100.从中任意抽出一张.请问：(1)抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少?抽出的卡片上的数是质数的概率是多少?是合数的概率是多少?既不是质数也不是合数的概率是多少?抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少?是奇数的概率是多少?既不是偶数也不是奇数的概率是多少?抽出的卡片上的数正好是101的概率是多少?抽出的卡片上的数小于200的概率是多少

(2)

1；7437； 4

501； ；

例 艾迪在愉快地玩飞镖,飞镖的镖盘如图1所示,投掷到对应的区域得到对应的分数.10分所对应的圆半径1,每向外一层则对应圆的半径1,投掷一镖后,假设艾迪没脱靶,请问：56789图 图艾迪得到10分的概率是多少艾迪得到的分数大于5分小于8分的概率是多少艾迪至多得到8分的概率是多少突然,艾迪发现了一种新型靶盘,如图2所示,红域称为幸运区,红域对应的圆心角是60,投掷到红色的区域也可以得到10分,求艾迪得到10分的概率是多少?1)10,最大圆的面积是3610分的概率是1

49 8 4五年级13率初44158118 应的面积是

,重合的面积是

,所以总的面积是6

65,对应的概率是65 641

概率中的经典模型相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个概率,PABPAP(B.特别地,AB中至少有一个发生的概率PAB)PA)P(B)1.记为PAB)PA)P(B).例 薇儿在玩抛硬币的游戏：如果抛一枚硬币,3次中,2次朝上,1次朝下,问第4次硬币朝上的概率是多少如果抛一枚硬币6次,5次是正面朝上的概率是多少如果抛一枚硬币6次,至少有一次正面朝上的概率是多少1次,两枚都正面朝上的概率是多少?一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是多少?至12

[计数计算概率]6从6次中选5次正面朝上C5611111111,所以总概率是C51613 朝上,对应的概率是1111111 五年级春季尖子班第13讲概率初 ；率是11； 111 111,所以总的概率是2111,也可以理解为：两枚中选一枚正面朝上,另一枚 正面朝下,对应的概率为C11

1 考虑,先求全部背面朝上的概率是111,则至少一枚 面朝上的概率为113 练一

这时,大宽走过来说：“薇儿,我们一起愉快地玩耍吧！”于是他们一起做游戏：两人掷一枚硬币,大宽掷两次,薇儿掷两次,大宽掷两次,……,这样轮流掷下去．若大宽连续两次掷得的结果相同,则记1分,否则记0分．若薇儿连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上则记1分否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大(请填大宽或薇儿．[计数计算概率11111 至少有一次正面向上的概率为1113 例 袋子中有大小、形状都相同的红球、蓝球、绿球各2个；从中无放回地摸出2个球,2个球都是红色的概率是多少2个球,2个球颜色相同的概率是多少2个球颜色不同的概率是多少?(3)2个球,2个球颜色相同的概率是多少?2个球颜色不同的概率是多少?[计数计算概率] 1 C 16【分析】(1)无放回地摸球,2个球都是红色的概率是 ；也可以理解为：2 6 颜色相同,可以都是红色、蓝色或绿色,概率为311

C 颜色不同可以从114得出,也可以先算一个红球一个蓝球的概率为2224 C1

4 2 ,同理一个红球一个绿球、一个蓝球一个绿球的概率都 ,所以总的概率C2C63

4 有放回地摸球,23221 颜色不同的概率是112,也可以先算出一个红球一个蓝球的概率为2222 6五年级13率初6C1 C1 2C1 322

9例 15个白球,A、B、C、D、E、F1个A获胜的概率是多少?B获胜的概率是多少?6个人中谁获胜的概率更大如果规则改为：每个人摸完后都要把球再放回袋中,直到有人摸出红球,之后的人就不再摸球；在这种规则下,谁获胜的概率更大? 6

5

练一

551,D5551,…,可见,在这种规则下,A 率更大,且B、C、D、E、F的概率依A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表人共制作了六枚外表一模一样的签其中只有一枚刻着“中六人按照字母顺序先后抽签,抽完不放回,谁抽到“中字,即被推选为代表那么这六人被抽中?

5511 同理,C抽中的概率为5411D抽中的概率为54311E抽中的概率为 543211F5432111 综如图所示,将球放在顶部,让它们从顶部沿轨道落下,每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落,有一半的可能向右滑落.球落到底部的从左至右的概率依次是 ．五年级春季尖子班第13讲概率初 1,而每到一个岔口,它落入两边的机会是均等的,因此,可以采用标数法,如右上图所示,故从左至右落到底部的概率依次为1131、1．22118学范围内,概率=满足条件的情况总数m.其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组 PABPAP(B).特别地,对立事件P(AB)P(A)P(B)A和BP(AB)P(A)P(B)生活中的概率例 学校打算在1月4日或1月10日组织看.确定好日期后,老师告诉了班长,但是由于“四”和“十”发音接近,班长有10%的可能性听错(把4听成10或者把10听成4).班长又把日期告诉了小明,小明也有10%的可能性听错.那么小明认为看的日期是正确日期的可能性为%.[计数计算概率]10.110.10.10.10.8282%.8五年级13率初8甲、乙两个学生各从0~9这10个数字中随机挑选了两个不同的数字,求：这两个数字的差是2的概率是多少这两个数字的差不超过2的概率是多少[基本概率88况是C245,所以概率是 如果飞镖随意地投向下图所示的木板上且不脱靶,那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是_.(用分数表示4442126 【分析】即求阴影部分占总面积的比例 22136

[基本概率任意向上掷一枚硬币若干次那么第4次掷硬币时正面向上的概率是多少如果掷6次,3次正面朝上的概率是多少(1)1263C315

[计数计算概率袋子里有大小、形状都相同的小球共5个,其中白球3个,红球2个；从中无放回地摸出两个球,这2个球都是白色的概率是多少从中有放回地摸出两个球,这 个球颜色相同的概率是多少?颜色不同的概率是多少[基本概率3【分析】(1)概率为C 33C5 C5颜色全是白色的概率是33=5

,全是红色的概率是22=5

,所以颜色相同的概率是9413,则颜色不同的概率是11312 A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表,人一共制作了六枚外表一模一样的签,其中只有一枚刻着“中”,六人按照字母顺序先后抽签,抽完放回,谁抽到“中”字,即被推选为代表,那么这六人第一轮被抽中的概率分别为多少?谁被抽中的概率最大五年级春季尖子班第13讲概率初 [基本概率A1,B51,C551 5551,E55551,F 555551.A

回,如果AB两地相距1000米,问：甲乙第二次相遇的地点距A地多少米?3个全程,甲走了9份,即一个全程又多了4份,距A地1一个两位数,是它各个数位数字和的3倍,求这个两位数ab,则由题10ab3(ab7a2ba2,b7下图中,能折成正方体的有哪些AB B1、100个人参加测试，要求回答五道试题，并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格，是答对第一题的有81人，答对第二题的有91人，答对第三题的有85人，答对第四题的有79人，答对第五题的有74人，那么至少有多少人合格？互相交错，关系很复杂，不太好考虑，如果从考虑，想“最多有多少人不合格？”这道题就迎刃而解了。100人共答错500－（81+91+85+79+74）=90（题，因为答对3题或3题以上的为测试合格，那么答错3题或3题以上的为测试不合格，所以最多有90÷3=30（人）不合格，也就是至少有100－30=70（人）合格。五年级13率初2、六年级共有190个学生参加考试，数学考试有178人及格，语文考试有181人及格，英语考试有人及格，那么三科全部及格的学生至少有多少人？目1]一样也不太好考虑，如果从考虑，思考“不是三科全部及格的学生至多有多少人？”最的，因此，三科全部及格的至少有190－37=153（人。300:0023:59四个数字之和为23的概率为多少？【分析】本题若从正面考虑和为23，会很麻烦，此时启发我们从考虑（这也是这类题的特点，题设的数字一定是和情况很靠近的值，最大的显然是19:59这一时刻。它的和为1+9+5+9=24。而题目要求的是23,正中下怀！我们只要将1959分别减1即可，从而09:59,18:59,19:49,19:5824×60=1440414401五年级春季尖子班1311 [计数中的考虑[最值中的考虑

本讲巩固1、本讲巩固3、4、从4个男生和5个中选出5个人，至多选3人，那么男生至少 人5- 名队员两两配对，进行淘汰赛，要决出冠军，需要 场淘汰赛，每次淘汰1人.从8人到剩下1人，淘汰了7人，因此需要比7用3个2分的硬币，5个5分的硬币，能构成2分，4分，5分，6分，……，则能构成的第三 构成最大的钱数为31，第二大的钱数为31-2，第三大的钱数为31-如图，平行四边形的面积为18平方厘米，阴影部分面积 平方厘米一共有3×6=18个角形，空白部分是5个三角形，阴影部分则为18-5=13个角形面积为13平方厘米计算：

C9C1 C98C2 从五年级春季从五年级春季尖子班第14讲 情况考虑教师开放视 是逆向思维的错吗虎“老悖论”是博弈论中一个著名的逻辑悖论虎国王要处决一个犯，但给他一个生还的机会.犯被带到5扇紧闭的门

其中一扇后面关 只 ：“你必须依次打开 门.我可以肯定的是，在你没有 关着那扇门，前，你是无法知道是在那扇门后.”显

，如果犯有可能在打开有的那扇门前知 就证明五王在撒谎，那么就可以活命.开门之前，犯行了如下分析 假

他把前四 打开后都没发 那他肯定猜 在 扇门中

的说话 了.因此 肯定 第五扇

既

第五依次类推 不存在任何一道门后；犯这时就不再多想，冒冒失失

次推门，结果从你

的意 难很明显，这个推理结果是错误的，那么到底是哪里出错了呢 道是我们推用数学 法倒推 身论证方法没问题，问题的关键在于——国王的话 就有逻 盾， 理的前提：1、门后 一 ；2、前 门没有 ；3 可预料，虎据前提1、2可以推出第五扇门 虎，这虎与前提3的，如果国王严格按照自己的逻辑放置 的话， 放哪个 不行，都的前提下推断出的结论当然也是错误的，“没有”与“门后有只”本来就是嘛虑模块 几何中的

徒在的方向,即从结论入手或从条件及结

进行思考,而使问题得到解决．例 ------------------------------------------------------

----------------------------------- DE 级反 五年春季尖子班第14讲从面情况考 级反⑵ABCDAD9cmAB6cm，△ADEDEBF及△CDF的面积DE [几何中的考虑]★★解】⑴阴影部分是一个三角形，要求面积必须先找底和高，但是发现不管以哪条边为底，底和高都很难求，所以我们从考虑，先求出空白部分面积，再用长方形面积减掉空三角ABCD的面9×6=54平方厘米，ADE的面积9×4÷2=18平方厘米△CDF6×5÷2=15平方厘米，△BEF2×4÷2=4平方厘米，所以△DEF的面积为54-18-15-4=17平方厘米.⑵ABCD9×6=54平方厘米，△ADEDEBF及△CDF的面积相54÷3=18AE18×2÷9=4厘米，CF18×2÷6=6BE=6－4=2厘米，BF=9－6=3厘米，所以△BEF的面积为2×3÷2=3平方厘米，所以阴影部分面积为18－3=15平方厘米．例 ⑴如图，已知正方形的边长为10厘米，则阴影部分的面积 平方厘米.(圆周率取3.14⑵如图所示，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形，则阴影的面积为 平方厘米.(圆周率取3.14)[几何中的考虑3五年级春季尖子班第14讲 情况考虑教师3解】⑴阴影部分的面积为

总面积减 ，空白 的面积可以合成一个圆形分因此阴影部分的面积为1023.145221.5平方厘米白⑵所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去

形面积.扇形的6

π

米

)，阴影部分的面积1040628412(平方厘模块 计数中的考------------------------------------------------------

-----------------------------------下图为4×4的点阵，取不同的三个点可能组合一个三角形，问总共可以组 个三角形解】考虑，可以从总解】

数中去掉不能组成三角形的点

[计数中的考虑 C3 2C34C3560324 练------------------------------------------------------

-----------------------------------如下图，在半圆弧及其直径上共有7