高中数学北师大版第二章函数单元测试 学业分层测评7

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是()A．y＝x2 B．y＝2x2＋2C．y＝4x2 D．y＝2x2－2【解析】将二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y＝4x2.【答案】C2．将二次函数y＝－eq\f(1,2)x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为()A．y＝－eq\f(1,2)(x－1)2－1 B．y＝－eq\f(1,2)(x－1)2＋1C．y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋1 D．y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1【解析】将二次函数y＝－eq\f(1,2)x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1.【答案】D3．若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是()【解析】因为一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，所以知a＜0，b＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x＝－eq\f(b,2a)＜0，只有选项C适合．【答案】C4．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是()A．－4 B．4C．－2 D．2【解析】二次函数的图像顶点在x轴上，故Δ＝0，可得t＝－4.【答案】A5．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为()A．f(x)＝4x2＋4x＋7 B．f(x)＝4x2－4x－7C．f(x)＝－4x2－4x＋7 D．f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】∵f(2)＝－1，f(－1)＝－1，∴对称轴为x＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2)，∵f(x)max＝8，∴令f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8，∴f(2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8，＝eq\f(9,4)a＋8＝－1，∴a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.【答案】D二、填空题6．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】设f(x)＝a(x－2)2＋3，则f(3)＝a(3－2)2＋3＝a＋3＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－2)2＋3.【答案】f(x)＝－2(x－2)2＋37．(2023·株洲高一检测)若(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，则m等于________．【解析】∵(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，∴x2＋(3＋n)x＋3n＝x2＋mx－15，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋n＝m，,3n＝－15，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝－5.))【答案】－28．(2023·菏泽高一检测)若将二次函数f(x)＝x2＋x的图像向右平移a(a>0)个单位长度，得到二次函数g(x)＝x2－3x＋2的图像，则a的值为________．【解析】法一：将函数f(x)＝x2＋x的图像向右平移a(a>0)个单位长度后，对应的函数解析式为f(x－a)＝(x－a)2＋(x－a)＝x2－(2a－1)x＋a2－a，由题意得x2－(2a－1)x＋a2－a＝x2－3x＋2，故2a－1＝3，a2－a法二：f(x)＝x2＋x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，g(x)＝x2－3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(1,4)，则eq\f(1,2)－a＝－eq\f(3,2)，a＝2.【答案】2三、解答题9．将二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y＝2x2－4x－6的图像，求a，b，c.【解】∵y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f(x)的顶点坐标(0，－11)，∴f(x)＝2x2－11.对照y＝ax2＋bx＋c得a＝2，b＝0，c＝－11.10．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图像与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.【导学号：04100029】【解】法一：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＝16a＋4b＋c，,0＝a＋b＋c，,0＝49a＋7b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝－\f(8,3)，,c＝\f(7,3)，))∴所求二次函数解析式为y＝eq\f(1,3)x2－eq\f(8,3)x＋eq\f(7,3).法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)·(x－7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a(4－1)(4－7)，解得a＝eq\f(1,3)，∴二次函数解析式为y＝eq\f(1,3)(x－1)(x－7)，即y＝eq\f(1,3)x2－eq\f(8,3)x＋eq\f(7,3).法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)，∴设二次函数解析式为y＝a(x－4)2－3.将(1,0)代入，得0＝a(1－4)2－3，解得a＝eq\f(1,3)，∴二次函数的解析式为y＝eq\f(1,3)(x－4)2－3，即y＝eq\f(1,3)x2－eq\f(8,3)x＋eq\f(7,3).[能力提升]1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是()【解析】∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.【答案】D2．已知二次函数f(x)满足f(0)＝－8，f(4)＝f(－2)＝0.若f(x－2)＝x2－12，则x的值为()A．－9 B．0C．2 D．－8【解析】∵f(4)＝f(－2)＝0，∴设f(x)＝a(x－4)(x＋2)，∴f(0)＝－8a＝－8，∴a∴f(x)＝(x－4)(x＋2)＝x2－2x－8，∴f(x－2)＝(x－2)2－2(x－2)－8＝x2－6x，由x2－6x＝x2－12，－6x＝－12得x＝2.【答案】C3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x>0，,x2＋bx＋c，x≤0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为________，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．【解析】∵f(－4)＝f(0)，∴当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝－2，∴－eq\f(b,2)＝－2，∴b＝4，∴f(x)＝x2＋4x＋c，又f(－2)＝4－8＋c＝－4＋c＝－2，∴c＝2，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x>0，,x2＋4x＋2，x≤0，))当x>0时，由f(2)＝2，得x＝2；当x≤0时，由f(x)＝x2＋4x＋2＝x，得x＝－1或x＝－2，∴x＝±2或－1，故方程f(x)＝x的解的个数为3.【答案】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x>0，,x2＋4x＋2，x≤0))34．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝eq\f(26,9)，试问该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到的？【解】由题意可设所求抛物线的解析式为y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－3＋k.由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(3－k,3)，∴xeq\o\a