高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 校赛得奖

平面的法向量与平面的向量表示学案编号：GEXX2-1T3-2-2【学习要求】1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．【学法指导】在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、集体交流的好习惯.1．平面的法向量：已知平面α，如果________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示：设A是空间任一点，n为空间内任一向量，则适合__________的点M构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为平面的向量表示式．3．设n1，n2分别是平面α、β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔________________.α⊥β⇔________⇔__________.4．三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.探究点一平面的法向量问题1平面的法向量有何作用？是否唯一．问题2怎样求一个平面的法向量？例1已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．跟踪1已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．探究点二利用平面的法向量判断平面与平面平行、垂直问题1设n1，n2分别是平面α，β的法向量，如何利用法向量来判断α，β的关系？问题2根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)；(2)平面α、β的法向量分别是n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)；(3)平面α、β的法向量分别是n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)．例1在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.跟踪2已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C探究点三三垂线定理及应用问题1如图，AB，AC分别是平面α的垂线和斜线，BC是AC在α内的射影，a⊂α，试用三垂线定理或其逆定理说明在上述条件下a⊥BC和a⊥AC的关系．如何证明？问题2三垂线定理中，把a⊂α，改为a∥α，其他条件不变，三垂线定理仍然成立吗？例3在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB跟踪3如图，已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，求证：AB⊥PC.【达标检测】1．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ()A．(0,1,2) B．(3,6,9)C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则 ()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，则m＝________.4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，证明：平面A1BD∥平面CB1D1【课堂小结】1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜率的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果.3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、基础过关1．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3，1，－4)，则 ()A．α∥β B．α⊥βC．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确2．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．A、C都有可能3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是 ()A．(1，－1,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))4．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值为 ()A．1或2 B．－1或－2C．－1 D．－25．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－26．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是 ()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))7．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.8．下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正确的是________．(填序号)二、能力提升10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB11.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.12.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，