高中数学北师大版第二章解析几何初步 名师获奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定解析：圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0,1)，半径为eq\r(5).由圆心(0,1)到直线2x－y＋3＝0的距离：d＝eq\f(|－1＋3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2,5)eq\r(5)＜eq\r(5).∴直线和圆相交．答案：A2．若圆心在x轴上、半径为eq\r(5)的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是()A．(x－eq\r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析：设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为eq\r(5)，故有eq\f(|x0|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，∴|x0|＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D.答案：D3．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0解析：圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选D.答案：D4．已知圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A，B两点，圆心为P，若∠APB＝90°，则c的值为()A．－3 B．3C．8 D．－2eq\r(2)解析：配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，圆心是点P(2，－1)，半径r＝eq\r(5－c)，点P到y轴的距离为2.当∠APB＝90°时，弦心距、半径和半弦长构成等腰直角三角形，所以eq\f(2,\r(5－c))＝eq\f(\r(2),2)，得c＝－3，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d＝eq\r(3－22＋1－22)＝eq\r(2)，所以最短弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)6．已知圆C与直线x－y＝0及x－y＝4都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为____________．解析：设圆心为点C(a，－a)，由点到直线的距离公式得eq\f(|2a|,\r(2))＝eq\f(|2a－4|,\r(2))，解得a＝1，所以圆心为(1，－1)，半径为eq\r(2)，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2三、解答题(每小题10分，共20分)7．当a(a＞0)取何值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0相切、相离、相交？解析：将已知圆的方程化为标准方程：(x－a)2＋(y＋1)2＝a.圆心为(a，－1)，半径为eq\r(a)，则已知圆的圆心(a，－1)到直线x＋y－2a＋1＝0的距离为：d＝eq\f(|a－1－2a＋1|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))＝eq\f(a,\r(2)).当eq\f(a,\r(2))＝eq\r(a)，即a＝2时，直线和圆相切；当eq\f(a,\r(2))＞eq\r(a)，即a＞2时，直线和圆相离；当eq\f(a,\r(2))＜eq\r(a)，即0＜a＜2时，直线和圆相交．8．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2eq\r(2)时，求直线l的方程．解析：将圆C：x2＋y2－8y＋12＝0化为标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则圆C的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切则有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝－eq\f(3,4).(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CD＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,CD2＋DA2＝AC2＝4，,DA＝\f(1,2)AB＝\r(2)，))解得a＝－7或－1.∴直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)在直线l：2x－4y＋3＝0上找一点P(m，n)，过该点作圆C的切线，切点记为M，使得|PM|最小．解析：(1)将圆C的方程整理，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切，得eq\f(|－k－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝2±eq\r(6)，从而切线方程为y＝(2±eq\r(6))x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切，得eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝－1或3，从而切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)因为圆心C(－1,2)到直线l的距离d＝eq\f(|2×－1－4×2＋3|,\r(22＋－42))＝eq\f(7,2\r(5))＞eq\r(2)＝r.所以直线l与圆C相离．设切点为M，当|PM|取最小值时，|CP|取得最小值，此时直线CP⊥l，则直线CP的斜率为－2，所以直线CP的方程为y