高中数学北师大版3第一章计数原理 校赛得奖

宜春南苑实验学校2023--2023学年下学期期中考试高二年级数学（理）试卷班级________姓名_______考号__________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1 C.－2 2．18×17×16×…×9×8等于 ()A．Aeq\o\al(8,18) B．Aeq\o\al(9,18)C．Aeq\o\al(10,18) D．Aeq\o\al(11,18)3．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(17,20)的值为 ()A．Ceq\o\al(3,21) B．Ceq\o\al(3,20) C．Ceq\o\al(4,20) D．Ceq\o\al(4,21)4．凸十边形的对角线的条数为 ()A．10 B．35C．45 D．905．(x＋2)6的展开式中x3的系数是 ()A．20 B．40C．80 D．1606．若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（） A．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,94) B．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,99)C．Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,94) D．Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(2,94)7.用反证法证明命题：“若系数为整数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”．对该命题结论的否定叙述正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数8.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A．种 B．种 C．种 D．种9．函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A1，－1B3，-17 C1，－17D9，－1910.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图1所示，则()图1A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点11.设，，则a，b，c的大小关系()>b>c >a>c>c>b >c>a12．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()＋ak＋1＋…＋a2k－1＋ak＋…＋a2k－1－1＋ak＋…＋a2k－1＋ak＋…＋a2k－2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13．若函数f(x)＝，则f(x)的导函数f′(x)=.14.已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\x\to(z)2是实数，则复数z2的模________.15．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______16用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有个.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．（本题满分10分）已知复数，是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．18．（本题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．（Ⅰ）求出的值；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式.19．（本题满分12分）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？20.（本题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值eq\f(1,2).(1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．21.（本题满分12分）如图，设是抛物线上的一点．(1)求该抛物线在点处的切线的方程；(2)求曲线、直线和轴所围成的图形的面积.22．（本题满分12分）已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展开式中各项系数的和比(3x－1)n的展开式中二项式系数的和大992，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展开式中：（1）第10项(2)常数项；(3)系数的绝对值最大的项．答案BDDBDCBDBAAD13.;14.15.13＋23＋33＋43＋53＋63＝212..三．17.解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是实数，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵复数所表示的点在第一象限，∴，解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．18．解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4∴f（5）=25+4×4=41．…（4分）（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．…（8分）∴f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）…（10分）∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．…（12分）19．解(1)44＝256(种)．(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步乘法计数原理，不同的放法共有C24A34＝144(种)．(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有Ceq\o\al(3,4)种，再放到2个盒中有Aeq\o\al(2,4)种放法，共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝84(种)．20．.解析：(1)f′(x)＝2ax＋eq\f(b,x)，又f(x)在x＝1处有极值eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝\f(1,2)，,f′1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,2a＋b＝0.))解得a＝eq\f(1,2)，b＝－分经检验得a＝eq\f(1,2)，b＝－1函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值eq\f(1,2).----------6分(2)由(1)可知f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x＋1x－1,x).令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．------------12分21．（Ⅰ）：直线L的斜率：即为所求．……………..6分（Ⅱ）：法一：切线与轴的交点为，则面积………………….12分法二：曲线C、直线和轴所围成的图形的面为．22．解由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的展开式中第10项，即T10＝-20x-8（2）常数项为第6项。T6＝Ceq\o\al(5,10)·(2x)5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.(3)设第r＋1项的系数的绝对值最大，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(2x)10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,10)·210－r·x10－2r.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,10)·210－r≥C\o\al(r－1,10)·210－r＋1，,C\o\al(r,10)·210－r≥C\o\al(r＋1,10)·210－r－1，))得eq\b