高中数学北师大版2第四章定积分 第4章章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①面积、路程②做功③牛顿­莱布尼茨④面积⑤体积定积分的计算1.利用定义求定积分.步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限.2.利用定积分的几何意义求定积分.3.利用微积分基本定理求定积分.若F′(x)＝f(x)，eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,)f（x）dx)＝F(b)－F(a).求下列定积分.(1)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx；(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx.【精彩点拨】(1)可用定积分的几何意义求解；(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.【规范解答】(1)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积.其面积为eq\f(1,2)×π×22＝2π，所以eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx＝2π.(2)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(ln3x,x)，\f(1,e)≤x≤1，,\f(ln3x,x)，1≤x≤e，))∴eq\i\in(\f(1,e),e,)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx＝eq\i\in(\f(1,e),1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ln3x,x)))dx＋eq\i\in(1,e,)eq\f(ln3x,x)dx.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln4x,4)))′＝eq\f(ln3x,x)，∴eq\i\in(\f(1,e),e,)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx＝－eq\f(ln4x,4)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,e)))＋eq\f(ln4x,4)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(e,1)＝－eq\f(ln41,4)＋eq\f(ln4\f(1,e),4)＋eq\f(ln4e,4)－eq\f(ln41,4)＝eq\f(1,2).[再练一题]1.计算下列定积分.(1)eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x（x＋1）)dx；(2)eq\i\in(-\f(π,2),\f(π,2),)(cosx＋2x)dx.【解】(1)∵eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x（x＋1）)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋1)))dx＝[lnx－ln(x＋1)]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(2,1)))＝lneq\f(4,3).(2)eq\i\in(-\f(π,2),\f(π,2),)(cosx＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(2x,ln2)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up8(\f(π,2)),－\f(π,2)))＝2＋eq\f(1,ln2)(2eq\s\up8(\f(π,2))－2eq\s\up8(－\f(π,2))).定积分在几何中的应用1.由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V＝eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,)π[f（x）]2dx.)求由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成的平面图形的面积.【精彩点拨】eq\x(画出草图)→eq\x(求交点坐标)→eq\x(\a\al(确定被积函数,及积分上、下限))→eq\x(求定积分)【规范解答】画出草图，如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝5x，))得交点A(1，5)，B(4，20).故所求平面图形的面积S＝eq\i\in(0,1,)(x2＋4－5x)dx＋eq\i\in(1,4,)(5x－x2－4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋4x－\f(5,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x2－\f(1,3)x3－4x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,1))＝eq\f(1,3)＋4－eq\f(5,2)＋eq\f(5,2)×42－eq\f(1,3)×43－4×4－eq\f(5,2)＋eq\f(1,3)＋4＝eq\f(19,3).[再练一题]2.求曲线y＝sinx，x∈[0，π]与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积.【导学号：94210078】【解】由体积公式V＝eq\i\in(0,π,)πy2dx＝eq\i\in(0,π,)π(sinx)2dx数形结合思想的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限.如图4­1所示，在区间[0，1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.图4­1【精彩点拨】确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值.【规范解答】S1的面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴，直线x＝t围成的面积.即S1＝t·t2－eq\i\in(0,t,)x2dx＝eq\f(2,3)t3；S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t2，1－t，即S2＝eq\i\in(t,1,)x2dx－t2(1－t)＝eq\f(2,3)t3－t2＋eq\f(1,3).所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝eq\f(4,3)t3－t2＋eq\f(1,3)(0≤t≤1).令S′(t)＝4t2－2t＝4teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))＝0，得t＝0或t＝eq\f(1,2)，易知当t＝eq\f(1,2)时，S最小，所以最小值为Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4).[再练一题]3.如图4­2，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.图4­2【解】抛物线y＝x－x2与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围成图形的面积为S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).抛物线y＝x－x2与直线y＝kx交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，所以eq\f(S,2)＝eq\i\in(0,1－k,)(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,2)x2－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1－k,0))＝eq\f(1,6)(1－k)3，又知S＝eq\f(1,6)，所以(1－k)3＝eq\f(1,2)，于是k＝1－eq\r(3,\f(1,2))＝1－eq\f(\r(3,4),2).1.定积分eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值为()＋2 ＋1 －1【解析】eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＝e.故选C.【答案】C2.若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A.－1 B.－eq\f(1,3)\f(1,3) 【解析】∵f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋2x∫eq\o\al(1,0)f（x）dx))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝eq\f(1,3)＋2eq\i\in(0,1,)f(x)∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq\f(1,3).【答案】B3.若函数f(x)，g(x)满足eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,)f（x）·g（x）dx＝0，)则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是() 【解析】①eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)xcoseq\f(1,2)xdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cosx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(1,－1)))＝－eq\f(4,3)≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)x·x2dx＝eq\i\in(－1,1,)x3dx