高中数学人教A版3第三章统计案例

章末检测一、选择题1．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是 ()A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧答案D解析“喜鹊叫喜，乌鸦叫丧”是一种迷信说法，它们之间无任何关系，故选D.2．下列结论正确的是 ()①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④答案C3．若线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2－，则变量x增加一个单位，变量y平均 ()A．减少个单位 B．增加2个单位C．增加个单位 D．减少2个单位答案A解析由线性回归方程可知eq\o(b,\s\up6(^))＝－，则变量x增加一个单位，eq\o(y,\s\up6(^))减少个单位，即变量y平均减少个单位．4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y43由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(a,\s\up6(^))等于 ()A． B． C． D．答案D解析样本点的中心为，，将其代入线性回归方程可解得eq\o(a,\s\up6(^))＝.5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥≈表示的意义是 ()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y有关系的概率为%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%答案D解析由题意得变量X与变量Y没有关系的概率约为，即可认为变量X与变量Y有关系的概率为99%.6．下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．其中说法正确的是 ()A．①② B．②③ C．①③ D．①②③答案C7．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是 ()A．身高一定为cmB．身高大于cmC．身高小于cmD．身高在cm左右答案D解析用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝，只能说身高在cm左右．8．(2023·湖北理)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－；②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋；③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋；④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－－.其中一定不正确的结论的序号是 ()A．①② B．②③C．③④ D．①④答案D解析正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④，故选D.9．下列是x与y之间的一组数据 ()x0123y1357则y关于x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，对应的直线必过点 ()A．(eq\f(3,2)，4) B．(eq\f(3,2)，2)C．(2，2) D．(1，2)答案A解析(eq\f(3,2)，4)为样本点的中心，一定在回归直线上．10．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则在犯错误的概率不超过的前提下推断实验效果与教学措施 ()优、良、中差总计实验班48250对比班381250总计8614100A.有关 B．无关C．关系不明确 D．以上都不正确答案A解析K2的观测值k＝eq\f(100×（48×12－38×2）2,50×50×86×14)≈>，则在犯错误的概率不超过的前提下认为“实验效果与教学措施有关”．二、填空题11．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一．在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.斜率的估计值为说明______________________________．答案美国一个地区的成年人受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加%左右12．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－，由此估计，当股骨长度为50cm时，肱骨长度的估计值为________cm.答案解析根据线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－，将x＝50代入，得y＝，则肱骨长度的估计值为cm.13．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射14天内的结果如表所示：死亡存活总计第一种剂量141125第二种剂量61925总计203050进行统计分析时的统计假设是________．答案小白鼠的死亡与剂量无关解析根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与剂量无关”．14．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x(万元)与公司所获得利润y(万元)的统计资料如下表：序号科研费用支出xi利润yixiyixeq\o\al(2,i)1531155252114044012134301201645341702553257596220404合计301801000200则利润y对科研费用支出x的线性回归方程为________．答案eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋20解析设线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x.由表中数据得，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(1000－6×5×30,200－6×52)＝2，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝30－2×5＝20，∴线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋20.三、解答题15．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女1055总计解(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×＋10×＝25.“非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：非体育迷体育迷总计男301545女451055总计7525100将2×2列联表的数据代入公式计算：K2＝eq\f(100（30×10－45×15）2,75×25×45×55)≈>.所以在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“体育迷”与性别有关．16．在海南省第二十四届科技创新大赛活动中，某同学为研究“网络游戏对当代青少年的影响”作了一次调查，共调查了50名同学，其中男生26人，有8人不喜欢玩电脑游戏，而调查的女生中有9人喜欢玩电脑游戏．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；(2)根据以上数据，在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”？解(1)2×2列联表性别游戏态度男生女生总计喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总计262450(2)K2＝eq\f(50×（18×15－8×9）2,27×23×24×26)≈，又P(K2≥＝，>，故在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”．17．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽数y(颗)2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解(1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则eq\o(A,\s\up6(－))表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件eq\o(A,\s\up6(－))包含的基本事件数为4.∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，∴P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5).(2)eq\o(x,\s\up6(－))＝12，eq\o(y,\s\up6(－))＝27，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xiyi＝977，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝434，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xiyi－3\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－3\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(977－3×12×27,434－3×122)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝27－×12＝－3，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.(3)由(2)知：当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝22，误差不超过2颗；当x＝8时，eq\o(y,\s\up6(^))＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回归方程是可靠的．18．(2023·福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k)k解(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，