高中数学北师大版3第一章计数原理 第1章3

第一章§3第1课时一、选择题1．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有()A．30种 B．360种C．720种 D．1440种解析：本题属排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和6个人站成一排照相一共有多少种不同排法的问题完全相同，所以不同的排法总数为Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720(种)．答案：C2．Ceq\o\al(12,50)等于()A．Ceq\o\al(12,51)＋Ceq\o\al(11,50) B．Ceq\o\al(11,49)＋Ceq\o\al(10,49)C．Ceq\o\al(13,51)－Ceq\o\al(13,50) D．Ceq\o\al(11,50)＋Ceq\o\al(12,50)解析：由组合数性质可知Ceq\o\al(12,50)＋Ceq\o\al(13,50)＝Ceq\o\al(13,51)，∴Ceq\o\al(12,50)＝Ceq\o\al(13,51)－Ceq\o\al(13,50).答案：C3．从5名学生中选出2名或3名学生会干部，不同选法共有()A．10种 B．30种C．20种 D．40种解析：可分两类：选2名的共有Ceq\o\al(2,5)＝10种；选3名的共有Ceq\o\al(3,5)＝10种，故共有10＋10＝20种．答案：C4．以下四个式子中正确的个数是()①Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),m！)；②Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；③Ceq\o\al(m,n)÷Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(m＋1,n－m)；④Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(m,n).A．1 B．2C．3 D．4解析：①式显然成立；②式中Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Aeq\o\al(m－1,n－1)＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)，故②式成立；对于③式Ceq\o\al(m,n)÷Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(C\o\al(m,n),C\o\al(m＋1,n))＝eq\f(A\o\al(m,n)·m＋1！,m！·A\o\al(m＋1,n))＝eq\f(m＋1,n－m)，故③式成立；对于④式Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(A\o\al(m＋1,n＋1),m＋1！)＝eq\f(n＋1·A\o\al(m,n),m＋1m！)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(m,n)，故④式成立，故选D．答案：D二、填空题5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝____________.解析：∵m＝Ceq\o\al(2,4)，n＝Aeq\o\al(2,4)，∴m∶n＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,5)＋…＋Aeq\o\al(2,100)＝____________.解析：方法一：原式＝Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＋…＋Ceq\o\al(2,100)Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,100))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝……＝(Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,101)－1)·Aeq\o\al(2,2)＝2Ceq\o\al(3,101)－2＝333298.方法二：由Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).∴Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)，∴Ceq\o\al(2,3)＝Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(2,5)＝Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)，…，Ceq\o\al(2,100)＝Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,100)，以上各式都相加得：Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)＝Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,3)，∴Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,5)＋…＋Aeq\o\al(2,100)＝(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,100))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,101)－1)·Aeq\o\al(2,2)＝333298.答案：333298三、解答题7．判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)50个同学聚会，两两握手，共握手多少次？(2)从50个同学中选出正、副班长各一人，有多少种选法？(3)从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的选法？(4)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼，有多少种选法？解析：(1)(2)都是选出2人，但握手与两人的顺序无关，而正、副班长的人选都与顺序有关．故(1)是组合问题，(2)是排列问题；(3)(4)都是选出3人，但参加同一劳动没有顺序，而到三个学校参加毕业典礼却有顺序，故(3)是组合问题，(4)是排列问题．8．(1)已知Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，求n；(2)化简Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10).解析：(1)∵Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)∴3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，∴n＝8或n＝2又∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋6≤18,4n－2≤18))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤4,n≤5))∴n≤4，∴n＝2(2)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝Ceq\o\al(6,7)＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝Ceq\o\al(6,8)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝Ceq\o\al(6,9)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝Ceq\o\al(6,10)＋Ceq\o\al(5,10)＝Ceq\o\al(6,11)＝462.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(1)解方程：20Ceq\o\al(n,n＋5)＝4(n＋4)Ceq\o\al(n－1,n＋3)＋15Aeq\o\al(2,n＋3)；(2)解不等式：xCeq\o\al(x－2,x＋1)≤2Ceq\o\al(x－1,x＋1).解析：(1)因为20Ceq\o\al(n,n＋5)－4(n＋4)Ceq\o\al(n－1,n＋3)＝20eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C\o\al(5,n＋5)－\f(1,5)n＋4C\o\al(4,n＋3)))＝20(Ceq\o\al(5,n＋5)－Ceq\o\al(5,n＋4))＝20Ceq\o\al(4,n＋4)，所以20Ceq\o\al(4,n＋4)＝15Aeq\o\al(2,n＋3)，即eq\f(20n＋4n＋3n＋2n＋1,4！)＝15(n＋3)(n＋2)，解得n＝2或n＝－7(舍去)．∴原方程的解为n