高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语命题及其关系 2023版模块综合测评1

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，如果P(ξ<6)＝eq\f(1,3)，那么n＝()A．8 B．9C．10 D．15【解析】因为P(ξ<6)＝eq\f(5,n)＝eq\f(1,3)，所以n＝15.【答案】D2．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32 B．－32C．0 D．－64【解析】(1－x)6＝1－Ceq\o\al(1,6)x＋Ceq\o\al(2,6)x2－Ceq\o\al(3,6)x3＋Ceq\o\al(4,6)x4－Ceq\o\al(5,6)x5＋Ceq\o\al(6,6)x6，所以x的奇次项系数和为－Ceq\o\al(1,6)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(5,6)＝－32，故选B.【答案】B3．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为()【导学号：29472091】A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,16【解析】由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.【答案】D4．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为()\f(5,21) \f(2,7)\f(1,3) \f(8,21)【解析】从10个球中任取4个，有Ceq\o\al(4,10)＝210种取法，取出的编号互不相同的取法有Ceq\o\al(4,5)·24＝80种，所以所求概率P＝eq\f(80,210)＝eq\f(8,21).【答案】D5．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高()A．甲 B．乙C．丙 D．丁【解析】根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．【答案】D6．某社区为了了解本社区居民的受教育程度与年收入的关系，随机调查了105户居民，得到如下表所示的2×2列联表(单位：人)：年收入5万元以下年收入5万元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203045总计3075105若推断“受教育程度与年收入有关系”，则这种推断犯错误的概率不超过()A．% B．2%C．% D．1%【解析】由列联表中的数据可得K2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×45×30×75)≈，由于>，所以推断“受教育程度与年收入有关系”，犯错误的概率不超过1%.【答案】D7．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300 B．216C．180 D．162【解析】由题意知可分为两类，(1)选0，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝108；(2)不选0，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝72，由分类计数原理得108＋72＝180.【答案】C8．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))eq\s\up12(n)的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于()A．15 B．－15C．20 D．－20【答案】A9．若随机变量X～B(n,，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是()A．2× B．2×C．3× D．3×【解析】因为X～B(n,，所以E(X)＝np＝＝3，所以n＝5，所以P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,5)××＝3×.【答案】C10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()【导学号：29472092】\f(1,6) \f(1,8)\f(1,12) \f(1,24)【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成eq\f(A\o\al(4,4),A\o\al(2,2))＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝eq\f(1,12).【答案】C11．若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝()A．1 B．－1C．0 D．2【解析】令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋eq\r(3))4，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋eq\r(3))4.所以，(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋eq\r(3))4(－2＋eq\r(3))4＝1.【答案】A12.在如图1所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是()图1\f(551,720) \f(29,144)\f(29,72) \f(29,36)【解析】“左边并联电路畅通”记为事件A，“右边并联电路畅通”记为事件B.P(A)＝1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,6).P(B)＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＝eq\f(29,30).“开关合上时电路畅通”记为事件C.P(C)＝P(A)·P(B)＝eq\f(5,6)×eq\f(29,30)＝eq\f(29,36)，故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝________.ξ012Px2xeq\f(1,4)【解析】由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋eq\f(1,4)＝1且0≤x≤1，解得x＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．【解析】此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1××＝.【答案】\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2\r(x))))eq\s\up12(5)的展开式中x8的系数是________(用数字作答)．【答案】eq\f(5,2)16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2＝，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________．【解析】由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误．【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)两台车床加工同一种机械零件如下表：合格品次品总计第一台车床加工的零件数35540第二台车床加工的零件数501060总计8515100从这100个零件中任取一个零件，求：(1)取得合格品的概率；(2)取得零件是第一台车床加工的合格品的概率．【解】(1)记在100个零件中任取一个零件，取得合格品记为A，因为在100个零件中，有85个为合格品，则P(A)＝eq\f(85,100)＝.(2)记取得第一台车床加工的零件记为B，则P(A|B)＝eq\f(35,40)＝.18．(本小题满分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))eq\s\up12(n)展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：(1)n的值；(2)展开式中含x3的项．19．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高18725学习积极性一般61925总计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由.【导学号：29472093】【解】(1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为eq\f(24,50)＝eq\f(12,25).不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为eq\f(19,50).(2)由K2公式得K2＝eq\f(50×18×19－6×72,25×25×24×26)≈.因为K2>，所以有%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．20．(本小题满分12分)对于表中的数据：x1234y(1)作散点图，你从直观上得到什么结论？(2)求线性回归方程．【解】(1)如图，x，y具有很好的线性相关性．故所求的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x.21．(本小题满分12分)“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计爱好10不爱好8总计30已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是eq\f(8,15).(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．【解】(1)男性女性总计爱好10616不爱好6814总计161430由已知数据可求得：k＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×16×14)≈<，所以没有把握认为爱好运动与性别有关．(2)X的取值可能为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,14))＝eq\f(4,13)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,8),C\o\al(2,14))＝eq\f(48,91)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,14))＝eq\f(15,91).所以X的分布列为：X012Peq\f(4,13)eq\f(48,91)eq\f(15,91)X的数学期望为E(X)＝0×eq\f(4,13)＋1×eq\f(48,91)＋2×eq\f(15,91)＝eq\f(6,7).22．(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图2以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为,,,.从而P(X＝16)＝×＝；P(X＝17)＝2××＝；P(X＝18)＝2××＋×＝；P(X＝19)＝2××＋2××＝；P(X