高中数学人教A版2第二章推理与证明 全国优质课

第二章2.2.一、选择题(每小题5分，共20分)1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60°”时，反设正确的是()A．假设三个内角都小于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的反设词是“一个也没有”，故选A.答案：A2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D.答案：D3．下列四个命题中错误的是()A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角B．eq\r(17)，eq\r(13)，eq\r(11)不可能成等差数列C．在△ABC中，若a>b>c，则∠C>60°D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数解析：显然A、B、D命题均真，C项中若a>b>c，则∠A>∠B>∠C，若∠C>60°，则∠A>60°，∠B>60°，∴∠A＋∠B＋∠C>180°与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，故选C.答案：C4．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定是________．解析：命题的结论为a>b，其否定为a<b或a＝b.答案：a≤b6．与两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．解析：假设AC与BD相交或平行，则AC与BD共面，∴AB与CD共面，这与AB与CD是异面直线相矛盾．∴假设错误，∴AC，BD异面．答案：异面三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．证明：假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.即eq\r(a)＝eq\r(c)，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．8．求证方程2x＝3有且仅有一个实根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个实根．下面用反证法证明根的唯一性．假设方程2x＝3有两个实根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，如果b1－b2＞0，则2b1－b2＞1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2＜0，则2b1－b2＜1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故方程2x＝3有且只有一个实根．eq\x(尖子生题库) ☆☆☆(10分)已知方程x2－4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a解析：设三个方程都没有实根，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3<0，,a－12－4a2<0，,2a2－4－2a<0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＋4a－3<0，,3a2＋2a－1>0，,a2＋2a<0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<a<\f(1,2)，,a<－1或a>\f(1,3)，,－2<a<0，))∴－eq\f(3,2)<a<－1.∴当三个