高中数学苏教版第二章数列 第2章等差数列的通项公式

第2章数列等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式A级基础巩固一、选择题1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为()A．2B．3C．－2D．－3解析：d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－3＋2n＝－2.选C.答案：C2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n解析：an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.答案：C3．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和nA．2B．3C．6D．9解析：由题意2m＋n＝10，2n＋m＝8，两式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6.所以eq\f(m＋n,2)＝3.答案：B4．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是()A．第11项 B．第12项C．第13项 D．第14项解析：由an＝a1＋(n－1)d得an＝－7n＋88，令an≥0，解得n≤eq\f(88,7)＝12eq\f(4,7).而a12＝4，a13＝－3，故a13的值最接近零．答案：C5．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是()A．公差为1的等差数列B．公差为eq\f(1,3)的等差数列C．公差为－eq\f(1,3)的等差数列D．不是等差数列解析：因为3an＋1＝3an＋1，所以3an＋1－3an＝1.所以an＋1－an＝eq\f(1,3).故数列{an}为公差为eq\f(1,3)的等差数列．答案：B二、填空题6．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________．解析：根据等差数列的性质，a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37.所以原式＝37＋37＝74.答案：747．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7解析：由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10，即2a1＋9d＝103a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝eq\a\vs4\al(2（2a1＋9d）＝)20.答案：208．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又Δ＝(2b)2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1个或2个．答案：1或2三、解答题9．在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7.(1)求a9；(2)求此数列在101与1000之间共有多少项．解：(1)设首项为a1，公差为d，则2a1＋5d＝12a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2，所以a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17.(2)由(1)知，an＝2n－1，由101＜an＜1000知101＜2n－1＜1000，所以51＜n＜eq\f(1001,2).所以共有项数为500－51＝449.10．已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)，求an.解：由eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为2，公差为eq\f(1,3)的等差数列，所以eq\f(1,an)＝2＋(n－1)·eq\f(1,3)＝eq\f(n＋5,3).所以an＝eq\f(3,n＋5)(n∈N*)．B级能力提升一、选择题11．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8D．11解析：由b3＝－2和b10＝12得b1＝－6，d＝2，所以bn＝2n－8，即an＋1－an＝2n－8，由叠加法得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(a8－a7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.所以a8＝a1＝3.答案：B12．等差数列{an}中，前三项依次为：eq\f(1,x＋1)，eq\f(5,6x)，eq\f(1,x)，则a101等于()A．50eq\f(1,3)B．13eq\f(2,3)C．24D．8eq\f(2,3)解析：由eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x)＝2×eq\f(5,6x)解得x＝2，故知等差数列{an}的首项为eq\f(1,3)，公差d＝eq\f(1,12)，故a101＝a1＋100d＝eq\f(1,3)＋100×eq\f(1,12)＝eq\f(26,3)＝8eq\f(2,3).答案：D13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目，把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的eq\f(1,7)是较小的两份之和．则最小的1份为()\f(5,3)\f(5,6)\f(10,3)\f(11,6)解析：设这5份分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，则有eq\f(1,7)(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝100，故a＝20，d＝eq\f(55,6)，则最小的一份为a－2d＝20－eq\f(55,3)＝eq\f(5,3).答案：A二、填空题14．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也是等差数列，其公差为eq\f(21－7,2)＝eq\f(14,2)＝7.所以a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.答案：3515．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝aeq\o\al(2,2)－4，则an＝________．解析：设等差数列公差为d，则由a3＝aeq\o\al(2,2)－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4，所以d2＝4.所以d＝±2.由于该数列为递增数列，所以d＝2.所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1(n∈N*)．答案：2n－1(n∈N*)三、解答题16．“三个数成递减等差数列，且三数和为18，三数的积为66”，解：法一：设三个数分别为a1，a2，a3.依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a1·a2·a3＝66，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝18，,a1·（a1＋d）·（a1＋2d）＝66，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－5.))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝5.))因为数列{an}是递减等差数列，所以d<0.所以d＝－5，a1＝11，所以a2＝＝1.所以这三个数为11，6，1.法二：设等差数列{an}的前三项依次为a－d，a，a＋d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝18，,（a－d）·a·（a＋d）＝66，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,d＝±5.))又因为{an}是递减等差数列，所以d<0，所以取a＝6，d＝－5.所以这三个数分别为11，6，1.17．已知eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,c＋a)，eq\f(1,a＋b)