高中数学人教A版第一章三角函数 三角函数模型的简单应用学案

2023学年高一年级数学导学案（2023学年高一年级数学导学案（44）班级姓名学号编写：赵海通审阅：侯国会§三角函数模型的简单应用体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．学习重点：三角函数的实际应用学习难点：三角函数模型的建立【学法指导】三角函数是刻画周期现象的重要模型，利用三角函数模型解决实际问题时，要注意充分依据收集的数据，画出“散点图”，观察“散点图”的特征，当“散点图”具有波浪形的特征时，可以考虑应用正、余弦函数进行拟合.一．知识导学1．三角函数的周期性y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____；y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝____.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的性质(1)ymax＝，ymin＝.(2)A＝，k＝.(3)ω可由确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝，ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝，ωx4＋φ＝，ωx5＋φ＝中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用二．探究与发现【探究点一】利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在．潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．例如，如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝sin(ωx＋φ)＋b.根据图象可知，一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是y＝．【探究点二】三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝eq\f(2π,ω)称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．例如，一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是：s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)画出它的图象；t0eq\f(1,6)eq\f(5,12)eq\f(2,3)eq\f(11,12)12πt＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2π＋eq\f(π,6)6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))360－603(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？【典型例题】例1．(1)作出函数y＝|cosx|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间．(2)作出函数y＝sin|x|的图象并判断其周期性．跟踪训练1。求下列函数的周期：(1)y＝|sin2x|；(2)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＋\f(1,3)))；(3)y＝|tan2x|.例2．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．跟踪训练2。下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))在同一周期内的图象．(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段eq\f(1,100)的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？例3．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)小结确定函数关系式y＝Asinωt＋B(A>0)，就是确定其中的参数A，ω，B等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M，最小值为m，则A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2).跟踪训练3。设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y12经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ()A．y＝12＋3sineq\f(π,6)t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋π))，t∈[0,24]C．y＝12＋3sineq\f(π,12)t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,2)))，t∈[0,24]三．巩固训练1．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根 B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根2．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.4．如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1