四边形总复习

平行四边形1.引入课题四边形2.四边形的有关概念请同学们回忆三角形的定义；三角形的边、顶点、角；三角形的表示方法；三角形中的重要线段．ABCD中线F高线E角平分线由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．观察图形，同位之间交流：

什么叫做四边形？

在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．ABCD什么叫做四边形的边？

什么叫做四边形的顶点？

如何表示一个四边形？如：四边形ABCD

在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．凸四边形

把四边形的任一边向两方延长，如果其它各边都在延长线的同一旁，则这样的四边形为凸四边形．下图是不是凸四边形？

把四边形的任一边向两方延长，如果其它各边不在延长线的同一旁，则这样的四边形为凹四边形．四边形的角、对角线及作用四边形的角四边形的对角线CABDABCD四边形的内角和等于多少度？问题：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝？CABD四边形的内角和定理：

四边形的内角和等于360°．CABD

关于四边形的内角和定理，你能想出其它证明方案吗？ABCDO

注意：

研究四边形时，常作它的对角线，把四边形问题转化为三角形问题．例题已知：如图，直线OB⊥AB，垂足为B，直线OC⊥AC，垂足为C．

求证：(1)∠1＋∠A＝180°；

(2)∠A＝∠2．已知：如图，直线OB⊥AB，垂足为B，直线OC⊥AC，垂足为C．

求证：(1)∠1＋∠A＝180°；

(2)∠A＝∠2．证明：

(1)∵∠A＋∠ACO＋∠1＋∠ABO＝360°，

∴∠1＋∠A＝360°－90°－90°＝180°（四边形的内角和等于360°）(2)∵∠1＋∠A＝180°,∠1＋∠2＝180°,∴∠A＝∠2．∵

OB⊥ABOC⊥AC∴

∠ACO＝∠ABO＝90°，练习已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠B，DF平分∠D．问BE与DF是否平行？为什么？练习(1)四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？为什么？

(2)一个四边形中，最多可以有几个锐角？几个钝角？练习能否用相同形状的任意四边形地砖铺地？请说明理由？能否用相同形状的任意四边形地砖铺地？请说明理由？答：根据任意四边形的内角和为360度，可如下图一样拼图。小结什么叫四边形？四边形的内角和定理．在研究四边形时，常通过作它的对角线，把关于四边形的问题转化为关于三角形的问题来解决．思考题如果一个四边形四个内角之比是2∶2∶3∶5，那么这个四边形的四个内角中

(A)只有一个直角(B)只有一个锐角

(C)有两个直角(D)有两个钝角

若一个角的两边与令一个角的两边互相垂直，且中两个角的差为46°，那么这两个角的度数分别为_________．?平行四边形的性质两组对边都不平行一组对边平行，一组对边不平行两组对边分别平行四边形平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？你能从以下图形中找出平行四边形吗？

两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要特征。23145平行四边形相对的边称为对边

相对的角称为对角如图:线段AC、BD就是ABCD的对角线ADCB平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线．1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图：四边形ABCD是平行四边形记作：ABCD读作：平行四边形ABCD如图，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，图中的平行四边形有＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿讨论9AHOEABCDBHGCAHGDCDEFABFECFOGDEOGBHOFABDC画一个平行四边形，观察它的边之间还有什么关系？平行四边形的对边平行.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，BC∥AD.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，BC=AD.平行四边形的对边相等.探究

旋转平行四边形，探究对称性和角的关系CABD平行四边形是中心对称图形.平行四边形的对角相等.∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D.OABCD性质4：平行四边形的对角相等。性质1：平行四边形的对边平行。性质2：平行四边形是中心对称图形。

思考：平行四边形中相邻的两角有什么关系呢性质3：平行四边形的对边相等。EFGH解:∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=52°（已知)∴∠A=∠C=52°（平行四边形的对角相等）又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B=∠D=

180°－∠A=180º－52°=128°在ABCD中,已知∠A=52°

，求其余三个角的度数。ABCD52°例题教学如图：在ABCD中，∠A+∠C=200°则：∠A=

，∠B=

.变式练习：ADBC100°80°解:∴∠B=

180°－∠A=180º－100°=80°又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行)∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C=100°（平行四边形的对角相等）且∠A+∠C=200°

ADCB43例题教学解：∵BD⊥AD∴∠ADB=90°在Rt△ADB中，AD=3，BD=4∴AB==5（勾股定理）又∵四边形ABCD为平行四边形（已知）∴AD=BC=3AB=DC=5∴ABCD的周长=2(AD+AB)=2(3+5)=16（平行四边形对边相等）如图，已知ABCD中，AD=3,BD⊥AD,且BD=4,你能求出平行四边形的周长吗?解：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AB=CD，BC=AD（平行四边形的对边相等）

又∵□ABCD的周长为60cm.∴AB+BC=30cm.

又AB：BC=3：2，即AB=1.5BC.

则1.5BC+BC=30,解得BC=12(cm).

而AB=1.5×12=18(cm).ABDC已知：平行四边形ABCD的周长为60cm，两邻边AB，BC长的比为3：2，求AB和BC的长度.变式练习学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？A1A3A2ABC在ABCD中，已知一个内角的度数是60°，则其余三个内角的度数分别为：大声回答120°、60°、120°

如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？ABCD解：四边形ABCD是平行四边形可要细心哟在ABCD中，∠A与∠B的度数之比为4：5，∠A=

，∠B=

，∠C=

∠D=

。

ABCD80°100°80°100°ABCD已知：ABCD的周长等于20cm，AC=7cm，求△ABC的周长。解：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AB=CD，BC=AD（平行四边形的对边相等）即AB+BC=C

ABCD=10cm又∵AC=7cm（已知）∴

C△

ABC=AB+BC+AC=10+7=17（cm）在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝

.C4cmABDE9cm125cm9cm3平行四边形的对边平行且相等；BDCA平行四边形的对角相等；邻角互补。平行四边形是中心对称图形。有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。130°50°33cm15cm100°80°10cm4、ABCD的周长为40cm，⊿ABC的周长为25cm，

则对角线AC长为（

）A、5cmB、15cmC、6cmD、16cm1、ABCD中，∠A=50°，则∠B=____

∠C=

，若AD+BC=30cm，ABCD的周长是96cm,则AB=

,BC=_____.2、ABCD,若∠A:∠B=5:4，则∠C=___,∠D=

。3、ABCD中，AB－CB=4cm，周长为32cm则AB=

。A2、在ABCD中，∠ADC=120°，∠CAD=20°，则∠ABC=

，∠CAB=

.ABCD1.已知ABCD中，∠１=60°，则：∠A=

，∠B=

,∠C=

，∠D=

.(1小题）(2小题）60°120°60°120°120°40°ABCD１ABDC画一个平行四边形，观察它的边之间还有什么关系？ABDC平行四边形的对边平行.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，BC∥AD.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，BC=AD.平行四边形的对边相等.OABCD（C）（A）（B）（D）性质4：平行四边形的对角相等。性质1：平行四边形的对边平行。性质2：平行四边形是中心对称图形。思考：平行四边形中相邻的两角有什么关系呢性质3：平行四边形的对边相等。平行四边形的性质（２）

一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：

老大老二老三老四

当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？1.如图，在平行四边行ABCD中，AC与BD相交于点O，(1)若AC=18cm,BD=24cm,则AO=

,BO=

.又若AB=13厘米，则△COD的周长为

。（2）若△AOB的周长为30cm,AB=12cm,则对角线AC与BD的和是

。例题讲解

如右图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于O,AC⊥BC垂足为C,已知AC=6,BC=4,求BD的长?ABCDO能力提升关

如图，在ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是

_________.

ODBAC●1＜AD＜9智力比拼关在笔直的铁轨上,夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长?如下图所示,请你在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线,量出这些垂线的长度,你发现这些垂线段的长度之间有什么关系?

这些垂线段都相等,即:AF=BG=CH=DM=EN为什么这些垂线段相等呢?你能用学过的知识来解释吗?FABGCHDMEN“平行线间的距离”“平行线间的垂线段的长度”=平行线间的距离处处相等.两条直线平行，其中一条直线上任一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。平行线间的距离处处相等.abABDC几何语言表示为：∵a∥bAC⊥ｂ，BD⊥ｂ∴AC=BD(平行线间的距离处处相等)答:两个三角形的面积相等.因为两条平行线间的距离相等,所以两个三角形的高相等,又同底,因此面积相等.

我思,我进步奔向远方….1.如下图所示,如果直线L1//L2,那么△ABC的面积和△DBC的面积大小有什么关系?你能说出理由吗?L2BL1ADC2.你还能在这两条平行线L1、L2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗?1.在ABCD中,AB:BC=5:3,且ABCD的周长为80cm,则CD=______,AD=______.2.如图ABCD的周长为44cm,对角线AC、BD相交于O,且△AOD的周长比△AOB的周长少2cm,求ABCD各边的长.DACOB

一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：

老大老二老三老四

当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ACDBO●老大老四老三老二M老人分地合理吗？

这节课你学到了什么?你有什么感受?能说出来与大家分享吗?

收获与体会如图，四边形ABCD是平行四边形，AB边的垂直平分线经过点D，若ABCD的周长是52cm，△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，求AB和AD的长。ABCDE平行线间的距离处处相等.abABDC几何语言表示为：∵a∥b

AC⊥ｂ，BD⊥ｂ∴AC=BD(平行线间的距离处处相等)板书设计板书例1知识点回顾定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：边对边平行对边相等角对角相等邻角互补对角线互相平分对角线：探究1：已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，试问：四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。分析：要证明一四边形是平行四边形，需要根据平行四边形的定义判断，即要证该四边形两组对边分别平行。要证：四边形ABCD是平行四边形AB∥CD,AD∥BC先连接AC,再证∠1=∠3,∠2=∠4△ABC≌△CDA(SSS)解：是平行四边形。理由如下：连结AC，AB=CD(已知)AC=CA(公共边)BC=DA(已知)∴△ABC≌△CDA(SSS)在△ABC和△CDA中,∴∠1=∠3,∠2=∠4∴AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形。ABCD1234由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。几何语言描述判定：AB∥DCAD∥BCABCDABCDABCD探究2已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，试问：四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。ABCDO分析：要证明一四边形是平行四边形，需要根据平行四边形的定义判断，即要证该四边形两组对边分别平行。AB∥CD,AD∥BC△ABC≌△CDA(SAS)要证：四边形ABCD是平行四边形∠ABO=∠ODC,∠BAO=∠OCD解：是平行四边形。理由如下：在△ABO和△CDO中,AO=CO（已知）∠AOB=∠COD（对顶角相等）BO=DO（已知）∴△ABO≌△CDO(SAS)∴∠ABO=∠ODC,∠BAO=∠OCD∴AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形。几何语言描述判定：AO=COBO=DOABCD由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：ABCDO探究3已知：四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD试问：四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。B解：连接ACACD12是平行四边形，理由如下：∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD在△ABC和△CDA中,AB=CD(已知）∠BAC=∠ACD（已证）AC=CA（公共边）∴△ABC≌△CDA(SAS)∴∠1=∠2∴

AD∥BC又∵

AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。几何语言描述判定：ABCDABCDADBC“”读作“平行且相等”.探究4已知：四边形ABCD中,∠A=∠C，∠B=∠D.试问：四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。ABCD解：是平行四边形。理由如下：∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600又∵∠A=∠C，∠B=∠D∴2∠A+2∠B=3600即∠A+∠B=1800∴AD∥BC同理得：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形。又∵∠A=∠C，∠B=∠D由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。几何语言描述判定：ABCD∠A=∠C∠B=∠DABCD三、应用练习1、下面给出了四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）Ａ．１：２：３：４Ｃ．２：３：２：３Ｂ．２：２：３：３

需要两组对角分别相等.Ｄ．２：３：３：２C2、在下列条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ为平行四边形的是（）Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠ＤＣ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡB＝CDABCD

若一组对边平行,另一组对边相等，这个四边形是平行四边形吗？C3、填空题：如图，在四边形ABCD中，ABCD①如果AD=8cm，AB=4cm，且BC=____cm，CD=____cm，那么四边形ABCD是平行四边形。②若∠A=1200,则∠B=____0,∠C=____0，∠D=____0时，四边形ABCD是平行四边形。③如果AD//BC，AD=6cm，且BC=___cm，那么四边形ABCD是平行四边形。84点评：两组对边相等的四边形是平行四边形6012060点评：两组对角相等的四边形是平行四边形6点评：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形.OBACEFD证明：连接BD在ABCD中，AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF∴EO=FO

又∵BO=DO

∴四边形BFDE是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形）归纳小结

判定1

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

判定2

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

判定3

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

判定4

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

判定5

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。本节课主要学习了平行四边形的判定定理：探索平行四边形的

常用判定方法学生活动之一:

平行四边形的判定定理:判定定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形判定定理1:

两组对角分别相等的四边形是平行四边形ABCD在四边形ABCD中∵∴∠A=∠C∠B=∠D四边形ABCD是平行四边形。(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形ABCD在四边形ABCD中∵∴四边形ABCD是平行四边形。AB=CDBC=AD(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形OABCD在四边形ABCD中∵∴四边形ABCD是平行四边形。对角线AC、BD

相交于点O，并

且AO=CO,BO=DO.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)学生活动之二：小组讨论形式活动形式：活动内容：重新组合条件，探索判定方法OABCD如图所示，有以下

8个条件，②AD∥BC①AB∥CD④AD=BC③AB=CD⑤∠BAD=∠BCD⑥∠ABC=∠ADC⑦OA=OC⑧OB=ODOABCD一组对边平行+一组对边平行+另一组对边平行另一组对边相等这组对边相等一组对角相等一条对角线被另一条对角线平分（定义）√×√√√一组对边相等+一组对边相等+这组对边平行另一组对边相等另一组对边平行一组对角相等一条对角线被另一条对角线平分√√××（判定定理2）×一组对角相等+一组对角相等+一组对边平行一组对边相等另一组对角相等一条对角线被另一条对角线平分√×√（判定定理1）猜想1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。ABCDAB∥CDAB=CD（判定方法）四边形ABCD是平行四边形。12∵∴猜想2：一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形AB∥CDAD=BCABCD不一定四边形ABCD不是平行四边形。ABCD猜想3：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。AB∥CD∠A=∠C判定方法四边形ABCD是平行四边形。AB=CD∠A=∠C猜想5：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形。不一定四边形ABCD不是平行四边形。OABCD猜想4：一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。AB∥CDOA=OC判定方法1234四边形ABCD是平行四边形。猜想6：一组对边相等，对角线交点平分其中某一条对角线的四边形

是平行四边形。AB=CDOA=OC不一定o四边形ABCD

不是平行四边形。提示：假设OB〉OD，在OB上截取OB’=OD,则∠ABC=∠ADC=∠AB’C猜想7：一组对角相等,连该对角的两顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。∠ABC=∠ADCOA=OCOABCD判定方法情况一：O猜想：一组对角相等，连该对角线的两顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。∠ABC=∠ADCOB=OD不一定情况二：四边形ABCD

不是平行四边形。判定定理的

巩固练习

例1.已知：如图，

E和F是平行

四边形ABCD

对角线AC上

两点，AE＝CF。

求证：四边形BFDE

是平行四边形。猜想1：如图，在平行四边形ABCD中，E，

F为AC上两点，∠ABE＝∠CDF。

求证：四边形BEDF为平行

四边形。猜想2：如图，在平行四边形ABCD中,E，F为AC上两点，BE∥DF。

求证：四边形BEDF为平行四边形。猜想3：如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AC上两点，BE＝DF。

求证：四边形BEDF为平行四边形。猜想4：如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F。

求证：四边形BEDF为平行四边形。

例2.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD、BC的中点。

求证：EB＝DF。推广1（对结论引伸）

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AF于G，EC交DF于H。

求证：（1）四边形EGFH为平行四边

（2）四边形EGHD为平行四边形。推广2

已知：如图，在平行四边形ABCD中,E，F分别为AD，BC上两点，AE＝CF。

求证：EB＝DF。推广3

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，

∠ABE＝∠CDF。

求证：EB＝DF。推广4

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，

BE和DF分别平分∠ABC和∠ADC。

求证：EB＝DF。推广5

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F。

求证：EB＝DF。例3．画平行四边形ABCD，使∠B＝45°，AB＝2cm，BC＝3cm。补充题：

1．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，BG＝DH。

求证：AH，BE，CG，DF围成的四边形MNPQ为平行四边形。2．如图，在平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边中点。

求证：四边形EFGH为平行四边形。3．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于O点，AE⊥BD于E，CG⊥BD于G，BH⊥AC于H，DF⊥AC于F。

求证：四边形EFGH为平行四边形。下课了判定方法1:定义

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。性质判定BCDA条件结论平行四边形两组对边分别平行平行四边形两组对边分别平行猜想1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形ABCD已知：如图，∠A=∠C∠B=∠D求证：四边形ABCD是平行四边形。在四边形ABCD中条件结论平行四边形平行四边形平行四边形对边相等对角相等

对角线

互相平分(性质1)(性质2)(性质3)

性质1234猜想2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形ABCD已知：AB=CDBC=AD求证：四边形ABCD是平行四边形。O猜想3:对角线互相平分的四边形是平行四边形ABCD已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，并且AO=CO,BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形。12(猜想1)(猜想2)(猜想3)对边平行条件结论平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形对边相等对角相等

对角线

互相平分(定义)(判定2)(判定3)

判定(判定1)对边平行对边相等对角相等对角线

平分①②③⑤⑦⑧④⑥①③④①②④③②③⑥⑥④⑤③⑤④⑤⑦⑧⑤⑥⑦⑥⑧①⑥⑤①②⑤②⑥③⑧⑦③④⑦④⑧①⑦②⑧②⑦①⑧②AD∥BC①AB∥CD④AD=BC③AB=CD⑤∠BAD=∠BCD⑥∠ABC=∠ADC⑦OA=OC⑧OB=OD对边平行对边相等对角相等对角线

平分①②③④⑤⑥⑦⑧①③④②①②③⑤⑥⑦⑧④③④对边平行条件结论平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形对边相等对角相等

对角线

互相平分(定义)(猜想1)(猜想2)(猜想3)AD∥BCAB∥CDAD=BCAB=CD∠A=∠C∠B=∠DOA=OCOB=ODOABCD两组对边分别平行对边相等对角相等

对角线

互相平分边角对角线两组对边平行两组对边相等两组对角相等平行四边形的主要性质（等价命题：两组邻角互补）对角线互相平分(定义)(性质1)(性质2)(性质3)猜想2：一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形猜想5：一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。猜想6：一组对边相等，对角线交点平分其中某一条对角线的四边形不一定是平行四边形。猜想：一组对角相等，连该对角线的两顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形。判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。判定方法：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。判定方法：一组对角相等,连该对角的两顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。判定方法：一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。菱形ABCD的性质：1.具有平行四边形的一切性质.2.菱形本身具有的特殊性质:

四条边相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.ABCD123456783.菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半.O矩形的判定方法1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）3.有三个角是直角的四边形是矩形.菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；AB=BCABCD□ABCDABCD菱形ABCDAB=BC□ABCD

四边形ABCD是菱形命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：中，AC⊥BDABCDABCD求证：是菱形ABCDO菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；AC⊥BDAC⊥BD□ABCDABCD菱形ABCDABCD□ABCD四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）情境：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？猜想：四边都相等的四边形是菱形。归纳菱形常用的判定方法：1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）3、有四条边相等的四边形是菱形.判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．(3)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形．(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。例题（课本P109.）

一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，求证：这个平行四边形为菱形。ABCD请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB思考:DCBA如图，AD∥BC，BD垂直平分AC，四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。CDBAO思考题:┐)12

(例、如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF.ABFNDMEC例：如图，RT△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。ABCDEF例：如下图在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于C，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?如图4－48，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．求证：四边形EGFC为菱形．

学到了如何识别菱形

今天你学到了什么

菱形识别方法：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形3、四条边都相等的四边形是菱形BDAC1．菱形的两条对角线长分别是3和4，则周长和面积分别是___、____．2．菱形周长为80，一对角线为20，则较小的角的度数为___、面积为___．3.菱形一边与两条对角线夹角的差是20°，那么菱形各角的度数分别为____4.已知：菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是

。新课导入画一画，猜一猜画一个四边形，要求它既是矩形又是菱形.用一张长方形的纸片折出一个正方形.动手热身接力赛平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?平行四边形边:角:对角线:对边平行且相等对角相等,邻角互补对角线互相平分矩形角:四个角是直角对角线:对角线相等且互相平分边：对边平行且相等具有平行四边形所有性质菱形的性质菱形的性质边:四条边相等对角线:互相垂直平分分别平分两组对角

对角相等,邻角互补具有平行四边形一切性质角：矩形4第四章四边形性质探索复习：1、平行四边形和四边形有什么关系？2、平相四边形的对边、对角、对角线各有什么性质？平行四边形的性质对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分。四边形、平行四边形、矩形四边形平行四边形矩形αADBCADBCADBCADBC4.5矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。观察下面的演示平行四边形长方形有一个角是直角

矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.★矩形具有平行四边形的一切性质！2、矩形的性质：定理1：矩形的四个角都是直角。已知：矩形ABCD中，∠B=90o.求证：∠A=∠C=∠D=∠B=900.证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠B=900,∠A=∠C(平行四边形的对角相等)AD∥CB(平行四边形的对边平行)∴∠A+∠B=1800.∴∠A=900=∠C.∴∠A=∠C=∠D=∠B=900

ADBCAD

BC定理2：矩形的对角线相等。定理1：矩形的四个角都是直角.已知：矩形ABCD.求证：AC=BD.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=900.AB=DC,(矩形的四个角都是直角、对边相等)在△ABC和△CDB中，

AB=CD∠ABC＝∠DCE

BC=CB∴△ABC≌△DCB（SAS.)∴AC=BD已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.求证:BO=AC12ABCOD证明:延长BO至D,使OD=BO,连结AD、DC.∵AO=OC,BO=OD∴四边形ABCD是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC=900

∴ABCD是矩形1212∴BO=BD=AC∴AC=BD推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。（矩形的对角线相等）

矩形的判定教学过程：一.复习引入：平行四边形的定义….平行四边行的性质….平行四边行的判定定理…..ADCB回忆平行四边行返回定义：二组对边互相平行的四边行。性质:1.平行四边行两组对角相等。2.平行四边行两组对边互相平行。3.平行四边行对角线互相平分。判定定理：1.两组对角分别相等的四边形是平行四边行。2.两组对边互相平行的四边行是平行四边行。3.对角线互相平分的四边形是平行四边行。

矩形的判定定理

我们通过平行四边行的学习知道它的判定定理是由它的定义或性质定理推导而来。那我们同样由它的思路来看推导一下矩形的判定定理。矩形性质一：矩形的四个角都是直角。

那我们接下来思考由矩形的性质二：矩形的对角线相等能不能反推过来呢？即：对角线相等的平行四边是否是矩形？根据性质一很容易得到：判定定理一：有三个角是直角的四边形是矩形。已知：在平行四边形ABCD中AC=DB求证:平行四边形ABCD是矩形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DCAB//DC（平行四边形的对边平行且相等）在△ABC和△CDB中，

AC=BDAB=DC

BC=CB∴△ABC≌△DCB（SSS.)

∴∠ABC=∠DCB

∵AB//DC

∴

∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=90°∴平行四边ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形叫做矩形)

OACDB矩形判定定理二：对角线相等的平行四边行是矩形。已知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形AB=4CM求：平行四边形ABCD的面积。解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=1/2ACBO=1/2BD（平行四边形对角线互相平分）∵△AOB等边三角形∴AO=BO∠BAO=60°∴AC=BC∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角)∴∠ACB=90°-∠BAO=30°在Rt△ABC中∵∠ACB=30°AB=4Cm∴AC=2AO=2AB=8Cm

则：BC==（CM）SABCD=AB.BC=4=16(CM)

OACDB矩形定义：有一个角是直角的平行四边形矩形性质一：矩形的四个角都是直角。矩形性质二：矩形的对角线相等。矩形判定定理一：有三个角是直角的四边形是矩形。矩形判定定理二：对角线相等的平行四边行是矩形。返回矩形定义：有一个角是直角的平行四边形矩形性质一：矩形的四个角都是直角。矩形性质二：矩形的对角线相等。矩形判定定理一：有三个角是直角的四边形是矩形。矩形判定定理二：对角线相等的平行四边行是矩形。返回小结,作业及预习小结:矩形的定义…..矩形的性质1….2…..矩形的判定定理1….2…….

2.过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是

课堂练习1.下面性质中，矩形不一定具有的是

A．对角线相等

B．四个角都相等

C．是轴对称图形

D．对角线垂直A．对角线相等的四边形

B．对角线互相平分且相等的四边形C．对角线互垂直平分的四边形D．对角线垂直的四边形3.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为

A．50°B．60°C．70°D．80°4.矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于

A．30°B．45°C．60°D．120°[][][][]DDDA返回A：四边形集合C：平行四边形集合B：矩形集合ACB课堂小结两组对边分别平行一个角是直角平行四边形矩形返回练习BADC1.已知：如左图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形对角线的长.O解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等）.又∵OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD==30°，又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）.∴BD=2AB=2×4=8(cm).(平行四边形对角线互相平分)ADBC矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=OA=4cm，求BD与AD的长。例1解：∵在四边形ABCD是矩形

AC=BD(矩形的对角线相等)∴BD=AC=2OA=8cm在Rt△BAD中，O∴OA=OC=ACOB=OD=BD(矩形的对角线互相平分)工人师傅如何裁剪玻璃？板凳坏了，修过后不知是否修好了？有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形的判定：定义有三个角是直角的四边形是矩形。矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形。矩形判定定理3矩形判定定理1任意一个四边形，三角直角定矩形。对于平行四边形，一个直角即可定；对线相等也矩形。矩形的判定口诀：随堂练习:P96,第1题.已知：平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形。求：∠BAD的度数ABCDO解：∵四边形ABCD是平行四边形∴对角线互相平分又∵△AOB是等边三角形∴OA=OB∴AC=BD四边形ABCD是平行四边形(对角线相等的平行四边形是矩形)∴四边形ABCD是矩形∴∠BAD=900下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXX有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形的判定：定义有三个角是直角的四边形是矩形。矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形。矩形判定定理3矩形判定定理1正方形菱形正方形有一个角是直角创设情景一正方形是特殊的菱形初中数学资源网正方形矩形实验与观察一：折叠矩形纸片初中数学资源网正方形菱形实验与观察二：转动菱形模型初中数学资源网1．正方形的定义

由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形。如图(1)。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。初中数学资源网平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系!大家谈初中数学资源网正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。?正方形的性质=菱形性质矩形性质问题:

情景二图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？当CD移动到CD位置，此时AD

＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？ABCDABCD

正方形是特殊的矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD四边形平行四边形矩形菱形正方形平行四边形矩形四边形菱形正方形OABCD(A)(B)(C)(D)正方形的性质：边：角：对角线：对称性：正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.选一选2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.

BD算一算正方形对角线长6，则它的面积为周长为3624例题解析例题学一学OABCD例4.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。分析分析：这是一道几何命题的证明,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知第三步：写出求证第四步:进行证明图中共有多少个等腰直角三角形？为什么说正方形是一个完美的图形？对称性特征正方形是中心对称图形,对称中心为点O它也是轴对称图形,有4条对称轴(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角OABCD(A)(B)(C)(D)归纳1.正方形是中心对称图形，轴对称图形。2.正方形的四条边都相等。3.正方形的四个角都相等。4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角。OABCD有一组邻边相等并且有一个角是直角平行四边形是正方形的试一试1.如图，正方形ABCD中，两对角线交于O,E是AC上一点，CE=AB，则∠ACB=__∠DOC=___,∠BEC=____,∠EBO=_____ADBCE

O2.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是ADBCOPQR大显身手如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。（1）求证：AE=CG（2）观察图形，猜想AE与CG的位置关系，并证明你的猜想。ABDECGF如图，四边形ABCD和DEFG都是正方形试说明AE=CGABCDEFG3.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE交对角线BD于点F，则图中全等三角形共有（）ABCDEFCA.1对B.2对C.3对D.4对正方形有什么性质？一组邻边相等一个角是直角有平行四边形的所有性质还有其它特殊的性质

用类比的方法探究正方形的性质，先找共性再找特殊性，并注意性质的整合.正方形的对边平行且相等.正方形的对角相等.正方形的对角线互相平分.正方形的一般性质（即平行四边形所有性质）边：角：对角线：

正方形的特殊性质矩形的性质菱形的性质正方形ADCBO

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？

分成八个等腰直角三角形：△ABC、△ADC、△ABD、△BCD△AOB、△BOC、△COD、△DOA小练习已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.例题证明：∵四边形ABCD是正方形∴AC=BD，AC⊥BDAO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO已知：正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F求证：OE=OF例题证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又DG⊥AE∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°∴∠EAO=∠FDO∴△AEO≌△DFO∴OE=OF课堂小结你能描述下列变化关系吗？平行四边形及其性质正方

形四边形

平行

四边形矩形菱形梯形两组对边平行只有一组对边平行有一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等有一个角是直角四边形的变化1定义：

平行四边形ABCDABCD两组对边

分别平行ABCD两组对边分别平行的

四边形叫做平行四边形。2符号表示：AD∥BC，AB∥CD。∵_________，∴

平行四边形定义的推理形式：（平行四边形的

定义）AD∥BC，

AB∥CD，

四边形ABCD

是平行四边形。（平行四边形的

定义）ABCD∵∴性质判定ABCD练习1如图，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，图中的平行四边形共有______个，它们是_______________________。9AHOE观察、探索平行四边形的性质有哪些?平行四边形性质:平行四边形的对边相等.平行四边形的对角相等.平行四边形的邻角互补.平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的对边平行.AD=BC，

AB=CD。∴

∴

AD∥BC，

AB∥CD。(平行四边形的对边相等.)(平行四边形的定义.)ABCD

平行四边形边的性质在中，ABCD在中，ABCD在中，ABCD∴

(两直线平行,同旁内角互补.)∠A=∠C,∠B=∠D.∴

(平行四边形的对角相等.)∠A+∠B=180°∠B+∠C=180°∠C+∠D=180°∠D+∠A=180°ABCD

平行四边形中角的性质AD∥BC,AB∥CD。在中，ABCD∴

AO=OC，

BO=OD。(平行四边形的

对角线互相平分.)ABCDO

平行四边形对角线的性质在中，ABCD例1（1）在ABCD中，AB＝a,BC=b,∠A＝50，则ABCD的周长和其余各角的度数为多少？周长是2a+2b,∠B=130°，∠C＝50°，∠D＝130°3性质定理1:平行四边形的对角相等.平行四边形性质:1定义:平行四边形的对边平行.4性质定理2:平行四边形的对边相等.:5性质定理3:平行四边形的对角线互相平分.:2在平行四边形中相邻的角互为补角.平行四边形及其性质的相关练习（2）在ABCD中：

①∠A：∠B＝5：4，则∠A＝________；②∠A＋∠C＝200°，

则∠A＝_________；

∠B＝_________；100°100°80°（3）已知平行四边形周长是54，两邻边之比为4：5，则这两边长度分别为_________；12，15(4)已知ABCD对角线交点为O，AC＝24mm，BD＝26mm，若AD＝22mm，则△OBC周长为______；

②若AB⊥AC，则△OBC比△OAB的周长大________；47mm17mm（5）在ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B=30°，

＝______；40cm2BC，AD上的点，AE∥CF。求证：（1）BE＝DF；（2）EF过BD的中点。例2已知：如图，ABCD中，E，F分别为例3已知：如图，A’B’∥BA，B’C’∥CB,C’A’∥AC。求证：（1）∠ABC＝∠B’，∠CAB＝∠A’，∠BCA＝∠C（2）△ABC的顶点

分别是△B’C’A’

各边的中点。

例4已知：如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F。

求证：OE＝OF，

AE＝CF，

BE＝DF。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。证题时可节省步骤，省掉判定平行四边形这一步，直接得到夹在两条平行线间的平行线段相等。ABl1l2CD∵l1∥l2,

AB∥CD∴AB=CD两条平行线的距离:

两条平行线中,一条直线上

任意一点到另一条直线的距离.ABl1l2练习2如图，判断下列几组图形能否体现推论所代表的含义。

（a）（b）（c）（d）练习3在图(d)中，（1）

点A与点C的距离是线段__；（2）

点A到直线l2的距离是线段__的长3）

两条平行线l1与l2的距离是线段___或_____的长；（4）

由推论可得：两条平行线间的距离_________.ABl1l2C