高中数学人教A版第三章三角恒等变换简单的三角恒等变换（省一等奖）

3.2简单的三角恒等变换(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语人类的全部历史都告诫有智慧的人，不要笃信时运，而应坚信思想。——爱献生学习目标1．灵活利用所学公式进行一些简单的恒等变换，总结三角恒等变换的方法.2．体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用.学习重点1．同角三角函数的基本关系式2．两角和与差与倍角公式的应用学习难点1．两角和与差的三角函数公式的应用2．半角公式的应用自主学习1．升降幂公式(1)升幂公式：1+cos＝

；1-cosα=

.(2)降幂公式：sin2α＝

；cos2α＝

.2．辅助角公式=

(其中).预习评价1．函数的最大值为____________.2．已知，540°<α<720°，则=____________.3．已知，，则tanθ＝____________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．三角恒等变换三角函数求值、化简和三角恒等式的证明，基本思想是“变换”，在三角函数问题中变换的基本方向有哪些？2．根据三角恒等变换及其应用，回答下列问题：(1)三角函数求值中的常见问题及解题方法有哪些？(2)三角变换中常用的变换技巧有哪些？教师点拨1．三角恒等变换及其应用的常见类型及注意点(1)化简：项目尽量少、名称尽量少、次数尽量低、分母尽量不含三角函数、根号内尽量不含三角函数、能求值的求出来.(2)求值：要注意角的范围、三角函数值的符号之间的联系与影响，较难的问题需要根据已知的三角函数值进一步缩小角的范围.(3)证明：利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于左边，或都将左右进行变换使其左右相等.2．三角恒等变换在函数中的常见问题、方法及注意点(1)常见问题：求三角函数的周期、值域、对称轴、单调区间等.(2)常见方法：利用辅助角公式把函数化成一个角的三角函数的形式，进而求以上问题.在变换过程中，常用换元、逆用公式等数学思想.(3)注意问题：在利用三角函数的有关知识解决实际问题时，注意结合实际情况来确定函数的自变量.交流展示——三角恒等变换的综合应用求QUOTE的值.变式训练（Ⅰ）求的值。（Ⅱ）已知6sin2x＋sinxcosx－2cos2x＝0，π＜x＜，试求sin2x－cos2x＋tan2x的值。交流展示——三角恒等变换在实际问题中的应用如图所示,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数;(2)θ为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?变式训练有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上.已知半圆的半径为a,如何选择关于点O对称的A,D两点的位置,使矩形ABCD的面积最大?学习小结1．三角恒等变换的方法三角恒等变换是对函数式中角、名、形的变换，即(1)找差异：角、名、形的差别.(2)建联系：角的和差关系、倍半关系等，考虑名、形之间可以用哪个公式联系起来.(3)变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降公式，，等.2．解决向量中的三角函数问题的方法根据题中所给条件，利用向量的数量积分式及所学过的有关公式，把函数转化为的形式.3．常见的转化方法(1)辅助角公式：(其中).(2)二倍角的正弦公式：.(3)降幂公式：.4．三角函数应用题的特点和处理方法(1)实际问题的意义反映在三角形的边、角关系上.(2)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题.(3)解决三角函数应用问题与解决一般的应用问题一样，先建模，在讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题.提醒：在利用三角函数求实际问题最优化的问题时，注意所设参数角的取值范围.当堂检测1．已知QUOTE,QUOTE，那么tan(β-2α)的值为A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE2．求证：4cos(60°－α)cosαcos(60°+α)=cos3α．3．已知QUOTEA.-2B.-1C.QUOTED.QUOTE4．若(tanα-1)(tanβ-1)=2,则α+β=.

5．若QUOTE，则QUOTE的值为A.QUOTEB.4C.8D.QUOTE3.2简单的三角恒等变换(二)

详细答案

♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)

(2)

2．【预习评价】1．2．3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．两个基本方向：变换函数名称与变换角的形式.变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式对角进行代数形式的变换等.2．(1)求值主要有：①给角求值，把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，或利用公式消去、约分式中的非特殊角的三角函数；②给值求值，利用公式对已知(或未知)式进行化简，根据题中所给的关系求解.(2)①切化弦，即把题中的切函数利用转化为弦函数；②降幂与升幂，利用倍角公式及其变形公式升幂或降幂；③角的变换，如等；④变式，即式子的结构形式的变换，主要有以下5种：：常值代换；：变用公式；：升幂、降幂公式；：配方与平方；：辅助角公式等.【交流展示——三角恒等变换的综合应用】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4QUOTE=-4QUOTE.【变式训练】(I)∵sin40º－cos20º＝sin(30º＋10º)－cos(30º－10º)＝＝(cos10º＋sin10º)－(cos10º＋sin10º)＝－cos10º。∴原式＝－1。(II)依题设：6tan2x＋tanx－2＝0⇒(3tanx＋2)(2tanx－1)＝0，又π＜x＜⇒tanx＝。不妨设x的终边过点(－2,－1)⇒sinx＝－，cosx＝－，⇒sin2x＝，cos2x＝，tan2x＝。故原式＝－＋＝。【解析】本题考查三角恒等变换、同角三角函数的基本关系。【交流展示——三角恒等变换在实际问题中的应用】(1)设S为十字形的面积,则S=2xy-x2(y>x>0).又圆O的直径为1,则x=cosθ,y=sinθ.因为0<x<y,所以0<cosθ<sinθ,所以tanθ>1,从而θ∈(QUOTE,QUOTE),故S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ(QUOTE<θ<QUOTE).(2)S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-QUOTEcos2θ-QUOTE=QUOTEsin(2θ-φ)-QUOTE(QUOTE<θ<QUOTE),其中tanφ=QUOTE,φ∈(0,QUOTE),当sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=QUOTE时,S最大.所以,当θ=QUOTE+QUOTE时,十字形的面积最大,最大值为QUOTE,其中tanφ=QUOTE,φ∈(0,QUOTE).【变式训练】画出图象如图所示.设∠AOB=θ,θ∈(0,QUOTE),则AB=asinθ,OA=acosθ.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB=2acosθ·asinθ=a2sin2θ.又θ∈(0,QUOTE),∴2θ∈(0,π),∴当2θ=QUOTE,即θ=QUOTE时,Smax=a2,此时A,D两点到点O的距离均为QUOTEa.【当堂检测】1．B2．证明：左边=2cosα［cos120°+cos(－2α)］=2cosα(－+cos2α)=－cosα+2cosα·cos2α=－cosα+cos3α+cosα=cos3α=右边．【解析】本题主要考查积化和差公式。3．A【解析】本题主要考查两角差的正切公式的应用，以及角的恒等变换.在三角函数求值问题中，要