高中数学人教A版本册总复习总复习章末综合测评3

章末综合测评（三）函数的应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内()A．至多有一个交点 B．必有唯一个交点C．至少有一个交点 D．没有交点【解析】∵f(a)f(b)＜0，∴f(a)与f(b)异号，即f(a)＞0，f(b)＜0；或者f(a)＜0，f(b)＞0，显然，在[a，b]内必有一点，使得f(x)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以这样的点只有一个，故选B.【答案】B2．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是()【解析】A：与直线y＝2交点是(0,2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故正确．故选D.【答案】D3．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是()【解析】由二分法的定义与原理知A选项正确．【答案】A4．2023年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为万，万和万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是()A．y＝ B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝＋log16x【解析】当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.【答案】C5．向高为H的水瓶以等速注水，注满为止，若水量V与水深h的函数的图象如图1所示，则水瓶的形状可能为()【导学号：97030147】图1【解析】由水量V与水深h的函数的图象，可知随着h的增加，水量V增加的越来越快，则对应的水瓶应该是上底面半径大于下底面半径的圆台型，故选A.【答案】A6．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(例如[]＝3，[]＝4，[]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为分钟的电话费为()元．A． B．C． D．【解析】由[m]是大于或等于m的最小整数，可得[]＝6，所以f＝××6＋1)＝×4＝.故选C.【答案】C7．函数f(x)＝eq\f(x－1ln－x,x－3)的零点个数为()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】∵函数f(x)＝eq\f(x－1ln－x,x－3)的零点个数即为f(x)＝0的根的个数，∴f(x)＝eq\f(x－1ln－x,x－3)＝0，即(x－1)ln(－x)＝0，∴x－1＝0或ln(－x)＝0，∴x＝1或x＝－1，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x>0,x－3≠0，))解得x＜0，∵函数f(x)的定义域为{x|x＜0}，∴x＝－1，即方程f(x)＝0只有一个根，∴函数f(x)＝eq\f(x－1ln－x,x－3)的零点个数为1个．故选A.【答案】A8．函数f(x)＝3x＋eq\f(1,2)x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【解析】由已知可知，函数f(x)＝3x＋eq\f(1,2)x－2单调递增且连续，∵f(－2)＝－eq\f(26,9)<0，f(－1)＝－eq\f(13,6)＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝eq\f(3,2)>0，∴f(0)·f(1)＜0，由函数的零点判定定理可知，函数f(x)＝3x＋eq\f(1,2)x－2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C.【答案】C9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)【解析】由于f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，则f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0.故方程的两根分别在区间(－3，－1)和(2,4)内．【答案】A10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝eq\f(x,4)，Q＝eq\f(a,2)eq\r(x)(a>0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为()\r(5) B．5C．±eq\r(5) D．－eq\r(5)【解析】设投放x万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,2)·eq\r(20－x)，令y≥5，则eq\f(x,4)＋eq\f(a,2)·eq\r(20－x)≥5.∴aeq\r(20－x)≥10－eq\f(x,2)，即a≥eq\f(1,2)eq\r(20－x)对0≤x<20恒成立，而f(x)＝eq\f(1,2)eq\r(20－x)的最大值为eq\r(5)，且x＝20时，aeq\r(20－x)≥10－eq\f(x,2)也成立，∴amin＝eq\r(5).【答案】A11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值为()【导学号：97030148】A．恒为正值 B．等于0C．恒为负值 D．不大于0【解析】∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而0<x1<x0，∴f(x1)>0.【答案】A12．已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1，满足f[f(a)]＝eq\f(1,2)的实数a的个数为()A．2 B．4C．6 D．8【解析】令f(a)＝x，则f[f(a)]＝eq\f(1,2)变形为f(x)＝eq\f(1,2)；当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1＝eq\f(1,2)，解得x1＝1＋eq\f(\r(2),2)，x2＝1－eq\f(\r(2),2)；∵f(x)为偶函数，∴当x＜0时，f(x)＝eq\f(1,2)的解为x3＝－1－eq\f(\r(2),2)，x4＝－1＋eq\f(\r(2),2)；综上所述，f(a)＝1＋eq\f(\r(2),2)，1－eq\f(\r(2),2)，－1－eq\f(\r(2),2)，－1＋eq\f(\r(2),2)；当a≥0时，f(a)＝－(a－1)2＋1＝1＋eq\f(\r(2),2)，方程无解；f(a)＝－(a－1)2＋1＝1－eq\f(\r(2),2)，方程有2解；f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1－eq\f(\r(2),2)，方程有1解；f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1＋eq\f(\r(2),2)，方程有1解．故当a≥0时，方程f(a)＝x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f(a)＝x也有4解，综上所述，满足f[f(a)]＝eq\f(1,2)的实数a的个数为8，故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．【解析】函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.【答案】314．已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少eq\f(x,2)时，面积达到最大，此时x的值为________．【解析】由题意，S＝(4＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(x,2)))，即S＝－eq\f(1,2)x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大．【答案】115．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．【答案】1416．给出下列五个命题：①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内有零点；⑤已知x1是方程x＋lgx＝5的根，x2是方程x＋10x＝5的根，则x1＋x2＝5.其中正确的序号是________．【解析】对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y＝log2x2与函数y＝2log2x的定义域不等，故不是相等函数，故②错；对于③，当x0取大于等于4的值都可使当x＞x0时，有2x＞x2成立，故③正确；对于④，只有函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，同时f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内有零点．故④错；对于⑤，∵x＋lgx＝5，∴lgx＝5－x.∵x＋10x＝5，∴10x＝5－x，∴lg(5－x)＝x.如果做变量代换y＝5－x，则lgy＝5－y，∵x1是方程x＋lgx＝5的根，x2是方程x＋10x＝5的根，∴x1＝5－x2，∴x1＋x2＝5.故正确．【答案】③⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(1,2)x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．【解】令y1＝x－1，y2＝－eq\f(1,2)x2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数f(x)有3个零点．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f(－3)＝eq\f(13,6)>0，f(－2)＝－eq\f(1,2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,8)>0，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝eq\f(1,2)>0，即f(－3)·f(－2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，(1,2)内．18．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－eq\f(1,2)，求满足f(logeq\f(1,4)x)≥0的x的取值集合.【导学号：97030149】【解】∵－eq\f(1,2)是函数的一个零点，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当logeq\f(1,4)x≤0，解得x≥1，当logeq\f(1,4)x≥－eq\f(1,2)，解得x≤2，所以1≤x≤2.由对称性可知，当logeq\f(1,4)x＞0时，eq\f(1,2)≤x＜1.综上所述，x的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).19．(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2eq\f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解】(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2eq\f(Q,10)，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log2eq\f(80,10)＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.20．(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC位于直线x＝t右侧的图形的面积为f(t)．图2(1)试求函数f(t)的解析式；(2)画出函数y＝f(t)的图象.【导学号：97030150】【解】(1)当0≤t≤2时，f(t)＝S梯形OABC－S△ODE＝eq\f(3＋5×2,2)－eq\f(1,2)t·t＝8－eq\f(1,2)t2，当2<t≤5时，f(t)＝S矩形DEBC＝DE·DC＝2(5－t)＝10－2t，所以f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－\f(1,2)t2，0≤t≤2，,10－2t，2<t≤5.))(2)函数f(t)图象如图所示．21．(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为元，当用水超过4吨时，超过部分每吨元，某月甲、乙两户共交水费y元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨．(1)求y关于x的函数；(2)如甲、乙两户该月共交水费元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×＝；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4，y＝4×＋3x×＋3×(5x－4)＝－.当乙的用水量超过4吨时，即3x＞4，y＝8×＋3(8x－8)＝24x－，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(4,5)))，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)＜x≤\f(4,3)))，,24x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(4,3))).))(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))时，y≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＜；当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\