高中数学苏教版第一章三角函数三角函数的图象与性质 教案张勤（定稿）

教材江苏版普通高中课程标准实验教科书必修④课题1.3.3函数y=A江苏省南通中学张勤【教学目标】1．理解并学会函数y=sin(x+φ)、y=Asinx、y=sinωx(A>0，ω>0)的图象和函数y=sinx图象的变换规律，会用五点法画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图，经历由具体到一般的学习过程，感悟“归纳法”的应用；2．观察并研究参数A，ω，φ对函数图象变化的影响及变换方法，通过合作探究掌握研究函数y=Asin(ωx+φ)图象的方法，感受研究问题的快乐；3．能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象，并在这个过程中认识到函数y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的辩证联系．【教学重点】探讨参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响．【教学难点】如何将正弦曲线变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象．【教学方法】运用引导、发现和讲练，采用合作探究的教学方法，教师的“导”和学生的“探”相结合．【教学手段】借助多媒体课件等工具辅助教学，在教师的引导下，学生学会思考，大胆探索，建构知识，体会思想，形成技能．【教学过程】一、设置情境联想中引入动画演示弹簧振子运动，给出弹簧振子运动中的位移y关于时间x的函数解析式y=3sin(2x+1)，并由此给出这类函数解析式的一般形式y=Asin(ωx+φ)．问题1这类函数从形式上看和我们之前学习过的什么函数有相似之处？与函数y=sinx进行比较，发现它们的解析式形式和图象都类似，由此启发我们，要在函数y=sinx图象的基础上研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象——揭示课题．【设计意图】从生活实际引出函数图象与函数的解析式，分别与函数y=sinx的图象和解析式进行对比，发现不同之处，顺应了学生的认知规律并激发学生的研究兴趣．二、方法探求研讨中获取问题2按照怎样的思路去研究课题？【设计意图】引导学生进行旧知识对新知识的迁移，学会整体把握知识框架、培养研究问题的意识．方案1五点法作图．方案2通过图象的变化规律来研究．问题3按照研究方案，请同学们实施、比较、小结并汇报交流．【学生活动】比较两种方案各自的特点，确定更具一般性的，通过图象变换规律来研究函数图象的方案．问题4怎样研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响？【师生活动】引导学生回顾已有的研究函数图象的经历，体会从特殊到一般，从简单到复杂，确定分而治之各个击破的研究方法．【设计意图】考虑到学生在必修①中已经学习过多种基本初等函数的图象和性质，对研究方法有了一定的了解，尤其是在初中的二次函数y=a(x－h)2+k图像的学习中，有过多个参数影响函数图象变换的研究经历．所以，在这里放手让学生自主探究研究是有基础的，在探究方法的过程中体会从特殊到一般，从简单到复杂，达到分而治之各个击破的目的．三、知识构建合作中生成探究1根据函数y=sin(x+1)与y=sinx的图象的联系，探究参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响．学生根据已有经验猜测两图象之间的关系，教师利用几何画板画出函数y=sin(x+1)的图象进行验证，从“形”的角度观察发现，函数y=sin(x+1)的图象是由正弦函数y=sinx的图象上所有点向左平移了1个单位得到．问题5怎样从“数”的角度来验证这样的变换呢？能推广到一般情况吗？【师生活动】教师电脑作图，引导学生对点的坐标变换进行分析，从而得到更一般的结论．【设计意图】师生共同研究，观察猜想，作图验证，从“形”“数”两个角度分析，得出结论．让学生在探究知识的同时，掌握分析问题解决问题的方法．探究2如何分别研究参数A、ω对y=Asin(ωx+φ)的图象影响？【学生活动】类比参数φ的研究方法，分组探究，汇报研究方法和研究结论．【设计意图】类比研究参数φ对函数图象的影响，学生自主探究．探究3如何研究两个参数ω、φ对函数图象的影响？思考：函数y=sin(2x+1)的图象可以由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？【学生活动】首先学生讨论得到两种变换顺序：由y=sinx先变换为y=sin2x，再变换为y=sin(2x+1)，或由y=sinx先变换为y=sin(x+1)，再变换为y=sin(2x+1)；再分组讨论具体变换方法，进行汇报．汇报同时由教师进行验证．【回答预设】学生在由y=sin2x的图象变换为y=sin(2x+1)的图象时可能会认为是将函数y=sinx的图象上所有点向左平移1个单位得到，这时可以利用电脑作图进行验证，发现问题，从而引导学生进一步思考会出错的原因，启发学生学会用点的变化观点来分析，从而得到函数图象是将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位而得到．体会函数图象变换的本质上是点的变化．归纳总结：将函数y=sinx的图象得到函数y=sin(2x+1)的图象的两种变化途径推广到一般情况．【设计意图】在本题的解决过程中，首先要求学生独立思考，然后引导学生小组交流讨论，最后让小组代表总结，并汇报探求过程中得到的经验或出现的问题以及采取的具体措施和效果，培养学生的合作意识和合作能力．并且通过呈现错误、发现错误、纠正错误的方式进行教学，不仅使学生印象深刻，而且还有利于学生深刻把握变换的本质．通过本题，使学生经历了从一个参数对函数图象的影响升级为两个参数对函数图象的影响的研究过程，步步深入，体会深刻．四、演练提升思考中深化回归本节课开始提出的实际问题．例函数y=3sin(2x+1)是某弹簧振子运动的函数解析式，你能画出这个函数的简图吗？【学生活动】分组讨论，汇报结论．【设计意图】回归到一开始的问题情景中，由于学生有以上的研究经历，对函数y=3sin(2x+1)的图象的研究也就顺理成章，课后去思考由函数y=sinx的图象变换为函数y=Asin(ωx+φ)图象的途径，使之深化认识，体验成功喜悦．五、课堂小结回顾中提炼和学生一起回顾本节课的主要研究内容，研究思路，研究方法和数学思想．【设计意图】通过小结对本节课的教学内容进行梳理和概括，在掌握知识的同时学会研究的方法，体会数学思想．六、课后训练巩固中拓展必做题：书本P40练习5、6、7；选做题：思考：三角函数和一般函数有什么关系？在一般函数中有没有今天我们所学习到的这种函数图象的变换规律，你能将其归纳总结出来吗？【设计意图】巩固所学，拓展提升，同时分层要求、各有所得．

设计说明：三角函数是描述周期现象的一种典型的数学模型，是一种基本初等函数，在数学和其他领域中有着广泛的应用和重要的地位.在中学阶段的数学学习中三角函数既是主要知识点之一又是数学学习的重要工具.函数y=Asin(ωx+φ)的图象是必修④教材中第一章第三大节第三小节内容．它是在研究学习了三角函数的周期性，正余弦曲线的图形特点，以及正余弦函数的性质后，进一步学习的知识，它主要揭示了这类函数的图象和正弦函数图象的关系．同时它也是后续学习三角函数的应用和三角恒等变换的主要知识铺垫、方法引入与能力基础.本节课的设计是从生活实际引出了函数的图象与函数的解析式，在此基础上引导学生分别与函数y=sinx的图象和解析式进行对比，发现不同之处，激发了学生的研究兴趣，这种在情境中进行联想、研究的方式完全顺应了学生的认知规律．考虑到学生在必修①中已经学习过多种基本初等函数的图象和性质，对研究图象变换的方法有了一定的了解，尤其是在初中对二次函数y=a(x－h)2+k图象的学习中，有过多个参数对函数图象变换影响的研究经历．所以，在这里放手让学生相互研讨，自主探究，在得到研究方法的同时体会从特殊到一般，从简单到复杂的数学思想，达到分而治之各个击破的目的．知识构建的过程是根据学生已有经历，通过观察猜想，理性分析，得出结论．让学生在探究知识的同时，掌握分析问题和解决问题的方法．然后由学生自主探究，合作学习研究A、φ对函数图象的影响．在此基础上，设计了一个思考，研究怎样根据y=sinx的图象得到y=sin(2x+1)的图象．这个思考的设计是本节课的一个关键点，也是想通过这个思考达到三个目的，一是让学生知道图象的变换就是点的变化，也就是点的坐标的变化；二是让学生明确从y=sinx的图象变换到y=sin(ωx+φ)的图象有两种变换顺序；三是为最终得到函数y=3sin(2x+1)的图象设置了一个铺垫，起到了分散难点的作用．这种知识的构建，就是从一个参数对函数的影响升级为两个参数对函数图象的影响，步步深入，逐渐生成．最后回归到一开始的问题情景，由于学生有以上的研究经历，因此对函数y=3sin(2x+1)图象的研究也就顺理成章．课后要求学生在本节课所获研究思路下去思考由函