高中数学北师大版2第四章数系的扩充与复数的引入 第4章2

第四章§2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为()A．－4＋20i B．－2＋10iC．－8＋20i D．－2＋20i解析：∵z＋5－6i＝3＋4i，∴z＝(3＋4i)－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.答案：B2．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，A．－1 B．3\f(1,2) D．－1或3解析：∵z＝(2m2＋m－1)＋(3－m2＋2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1＝0,3－m2＋2m≠0，))解得m＝eq\f(1,2).答案：C3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O为坐标原点，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝()\r(2) B．2\r(10) D．4解析：由题意eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.答案：B4．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的关系是()\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)) B．|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共线解析：由向量的加法及减法可知：在▱OACB内，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)).非零复数z1，z2分别对应复平面内向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，由复数加减法的几何意义可知：|z1＋z2|对应eq\o(OC,\s\up6(→))的模，|z1－z2|对应eq\o(AB,\s\up6(→))的模，又因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以四边形OACB是矩形，因此eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，故选C.答案：C二、填空题5．复平面内的点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________.解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))对应的复数为(i－1)＋(4＋2i－1)＝2＋3i，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|2＋3i|＝eq\r(13).答案：eq\r(13)6．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)是______．解析：∵f(z)＝z－2i，∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1)i－2i＝5＋3i.答案：5＋3i三、解答题7．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i.(1)求z1－z2；(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．解析：(1)因为z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i，所以z1－z2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i.(2)在复平面内复数z1－z2所对应的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→))＝1－i，如下图所示．8．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．解析：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.eq\o(AC,\s\up6(→))对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)可得：|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2∴△ABC为直角三角形(3)由(2)可知，三角形为直角三角形，∠A为直角∴S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)＝29．已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,4＋2i，－2＋4i.试求：(1)点B对应的复数；(2)判断▱OABC是否为矩形．解析：(1)∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4＋2i＋(－2＋4i)＝2＋6i，∴点B对应的复数为2＋6i.(2)方法一：∵kOA＝eq\f(1,2)，kOC＝－2