高中数学人教A版第一章解三角形 专题强化训练(一)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题强化训练(一)解三角形(30分钟50分)一、选择题(每小题3分，共18分)1.已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc=162，则三角形的面积为()2 2 C.2 D.2【解析】选C.因为asinA=bsinB=所以sinC=c8所以S△ABC=12absinC=abc16=162.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b=5c，C=2B，则cosC=()A.725 725 C.±725【解析】选A.由正弦定理得8sinB=5sinC，因为C=2B，所以cosB=45，所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×4523.(2023·重庆高二检测)△ABC的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，且其外接圆直径为52，则S△ABC=() B.3 【解题指南】由正弦定理bsinB=2R求出b的值，再利用余弦定理求出c，然后利用S△ABC=1【解析】选C.由正弦定理得52=bsinB=bsin45°，所以b=5，由余弦定理求得c=42，所以S△ABC=12acsinB=12×1×44.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()2海里 3海里3海里 2海里【解析】选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB=20，∠CAB=30°，∠ACB=45°，根据正弦定理得BCsin30°=解得BC=1025.(2023·杭州高二检测)某转弯路段为四分之一圆环，圆环道路外侧均匀栽种了10棵树(如图所示)，小李在半径OA的延长线上一点C处观察到第四棵树(P点)，第七棵树(Q点)与点C在同一条直线上，并测得AC=100米，则此弧形道路的大圆半径OA的长为()A.100米 (3+1)米C.200米 (3+2)米【解析】选B.由题意，∠AOP=13105°，∠C=45°，设半径为r，则rsin45°=r所以r=100(3+1)米.6.在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2CA.0,π6 C.0,π3 【解析】选C.由正弦定理角化边得a2≤b2+c2-bc，所以b2+c2-a2≥bc.所以cosA=b2+c所以0<A≤π3二、填空题(每小题4分，共12分)7.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为__________m.(取2=，3=【解析】如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A=15°，∠DBC=45°，所以∠ACB=30°，AB=50×420=21000(m).又在△ABC中，BCsinA=所以BC=2100012×sin15°=10500(6因为CD⊥AD，所以CD=BC·sin∠DBC=10500(6-2)×22=10500(3故山顶的海拔高度h=10000-7350=2650(m).答案：26508.如图，在四边形ABCD中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于__________.【解析】连接BD，由余弦定理得BD2=22+22-2×2×2cos120°=12，所以BD=23.因为BC=CD=2，C=120°，所以∠CBD=30°，所以∠ABD=90°，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×4×23+12×2×2×sin120°=5答案：539.△ABC的外接圆半径为R，C=60°，则a+bR的最大值为【解题指南】由正弦定理将a+bR转化为角之间的关系，然后化为Acos(ωx+【解析】由正弦定理得a+bR=2[sinA+sin(120°-A)]=23cos(A-60°).又因为-60°<A-60°<60°，所以a+bR的最大值为2答案：23三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2023·济南高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b-2a)cosC+ccosB=0.(1)求C.(2)若c=7，b=3a，求△ABC的面积.【解析】(1)由已知及正弦定理得：(sinB-2sinA)cosC+sinCcosB=0，sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，sin(B+C)=2sinAcosC，所以sinA=2sinAcosC.又因为sinA≠0，所以cosC=12又因为C∈(0，π)，所以C=π3(2)由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即7=a2+b2-ab.所以a解得a=1，b=3.故△ABC的面积S=12absinC=12×1×3×3211.(2023·成都高二检测)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C=π3，(1)若λ=3时，证明：△ABC为直角三角形.(2)若CA→·CB→=98λ【解题指南】(1)当λ=3时，根据正弦定理及两角和与差的正弦公式确定相应角的值，从而确定△ABC的形状.(2)由CA→·CB→=【解析】(1)因为λ=3，所以a+b=3c，由正弦定理得sinA+sinB=3sinC，因为C=π3，所以sinB+sin2π3sinB+32cosB+12sinB=所以32sinB+32cosB=则sinB+π6从而B+π6=π3或B+π6=2π3若B=π6，则A=π若B=π2，△ABC也为直角三