高中数学北师大版第三章指数函数和对数函数单元测试 学业分层测评

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))x(x∈N＋)的图像是()A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线C．一系列上升的点 D．一系列下降的点【解析】eq\f(7,3)>1且x∈N＋，故图像是一系列上升的点．【答案】C2．(2023·延安高一检测)函数f(x)＝3x－2中，x∈N＋且x∈[－1,3]，则f(x)的值域为()A．{－1,1,7} B．{1,7,25}C．{－1,1,7,25} \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，－1，1，7，25))【解析】∵x∈N＋且x∈[－1,3]，∴x∈{1,2,3}，∴3x∈{3,9,27}，∴f(x)∈{1,7,25}．【答案】B3．若正整数指数函数过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，则它的解析式为()A．y＝2x B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x D．y＝(－2)x【解析】设f(x)＝ax，则a2＝eq\f(1,4)，∴a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.【答案】C4．若正整数指数函数f(x)＝(a－4)x满足f(15)<f(14)，则a的取值范围是()A．a>4且a≠5 B．4<a<5C．a>5或a<4 D．a>5【解析】由f(15)<f(14)知，函数f(x)是减函数，因此0<a－4<1，解得4<a<5.【答案】B5．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为()A．a(1＋p%)元 B．a(1－p%)元\f(a,1－p%3)元 \f(a,1＋p%)元【解析】设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，∴x＝eq\f(a,1－p%3)，故选C.【答案】C二、填空题6．已知正整数指数函数y＝(m2－5m－5)mx，(x∈N＋)，则m【解析】由题意m2－5m－5＝1，∴m2－5解得m＝6或－1(舍去)，∴m＝6.【答案】67．比较下列各式的值．(1)π3____π2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2____eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6.【解析】由正整数指数函数的单调性知，π3>π2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6.【答案】(1)>(2)>8．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数关系式为________．【解析】20%＝，当x＝1时，y＝1×(1－＝；当x＝2时，y＝×(1－＝；当x＝3时，y＝×(1－＝；……∴光线强度y与通过玻璃板的块数x的关系式为y＝(x∈N＋)．【答案】y＝(x∈N＋)三、解答题9．若x∈N＋，判断下列函数是不是正整数指数函数，若是，指出其单调性．(1)y＝(－eq\r(5,9))x；(2)y＝x4；(3)y＝eq\f(2x,5)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(9,\f(7,4))))x；(5)y＝(π－3)x.【解】因为y＝(－eq\r(5,9))x的底数－eq\r(5,9)小于0，所以y＝(－eq\r(5,9))x不是正整数指数函数；(2)因为y＝x4中自变量x在底数位置上，所以y＝x4不是正整数指数函数，实际上y＝x4是幂函数；(3)y＝eq\f(2x,5)＝eq\f(1,5)·2x，因为2x前的系数不是1，所以y＝eq\f(2x,5)不是正整数指数函数；(4)是正整数指数函数，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(9,\f(7,4))))x的底数是大于1的常数，所以是增函数；(5)是正整数指数函数，因为y＝(π－3)x的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数．10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(5)；(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因.【导学号：04100041】【解】(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．(2)f(5)＝35＝243.(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．[能力提升]1．已知正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)是减函数，则a的取值范围是()A．a>2 B．a<2C．1<a<2 D．a<1【解析】由题意0<a－1<1，∴1<a<2.【答案】C2．若正整数x，满足3x≤27，则x的取值范围是()A．(－∞，3] B．[3，＋∞)C．{0,1,2,3} D．{1,2,3}【解析】由3x≤27，即3x≤33得x≤3，又x∈N＋，所以x＝1,2,3.【答案】D3．当x∈{x|－1<x≤4，x∈N＋}时，函数f(x)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的值域是________．【解析】因为{x|－1<x≤4，x∈N＋}＝{1,2,3,4}，∴当x＝1,2,3,4时，f(x)＝eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，故函数f(x)的值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(7,8)，\f(15,16))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(7,8)，\f(15,16)))4．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图像；(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总个数．(用关于n的式子表示)【解】(1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2n，n∈N＋}；(2)0≤t<6时，f(t)为分段函数，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0≤t<2，,4，2≤t<4，,8，4≤t<6.))图像如图所示．(3)n为偶数且n≥0时，y＝2eq\s