弧长阴影部分面积

圆中阴影面积的计算课前热身2.7弧长及扇形的面积

典型例题例1如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．例2.（2008年南宁）如图，△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为__________________（平方单位）.分析：S阴影=S以AC为直径的半圆

+

S以BC为直径的半圆+

S△ABC－S以AB为直径的半圆S2S1S3S1S2S3+=?S1S2S3=

S△ABC24方法1：利用规则图形的________来计算阴影部分的面积.和差ACB探索发现如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以A为圆心，AB为半径画弧，交AC于D点，求阴影部分面积（结果保留π）和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是5cm，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面积。0BACD弓形的面积=S扇-S⊿变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是5cm，其中水面高8cm，求截面上有水部分的面积。0ABDCE弓形的面积=S扇+S△思考：如图，点A、B、C在半径为2的⊙O上，∠BAC=45°，求图中阴影部分的面积（结果中保留π）．

BCA⊙A,⊙B,⊙C两两不相交,且半径都是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多少?（北京中考题）●●●●如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之和是___________.如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交，且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。（2007，山东）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为

个平方单位．如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．ABCFED练一练例3.如图，A是半径为1的⊙O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于

.

分析：AB是⊙O的切线∠ABO＝90°OABC是什么图形的一部分？扇形BOCBC//OAS△ABCS△BOC与＝∴S阴影=S扇形BOC∵OA=2，OB=1∴

∠BAO＝30°∴

∠BOA＝60°不难得出∠BOC＝60°∴S阴影=

=

方法2：根据平行线间的距离______，再利用________________的三角形面积相等进行转化求值。相等“同底等高”探索发现学以致用己知直经AB=10，点C、D是圆的三等分点，则阴影部分的面积是_____________.ABCDO分析：C、D是圆的三等分点

∠BOD=∠COD=60°∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO=∠BOD=60°，∴CD//AB∴S△ACD=S△BOD∴S阴影=S扇形COD=

=

转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。例4.

(2009年浙江嘉兴)如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若弦AB的长为6，则阴影部分的面积为______________.ABCOP分析：不难看出，S阴影=S大圆

－S小圆，但大、小圆的半径能分别求出吗？显然不能！平移转化：利用________来计算阴影部分的面积.平移探索发现

小圆的位置对阴影面积有影响吗？没有S阴影=

如图，两半圆内切，大半圆弦AB切小半圆于D，AB=6，则阴影部分的面积是_______________.BOADBAOD学以致用

例题讲解例4.（2000年贵阳）如图，正方形边长为2，分别以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.

例4.（2000年贵阳）如图，正方形边长为2，分别以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.

分析：题目中“以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧”实际画的是什么？扇形这个两个扇形通过怎么的几何变换能成为一个熟悉的图形？旋转探索发现例4.（2000年贵阳）如图，正方形边长为2，分别以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.

此时，S阴影=S半圆

－S等腰Rt△，B旋转转化：利用________来计算阴影部分的面积.旋转探索发现201、（2008年桂林）两同心圆，大圆半径为3，小圆半径为1，则阴影部分面积为_________________.

学以致用

∴S阴影=

=

=

旋转转化：利用___________来计算阴影部分的面积.旋转思考题：BCA(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是______________.解法一解法二解法三(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是______________.思考题：BCAS阴影=S以AC为直径的半圆

+

S以AB为直径的半圆－S△ABC阴影面积可看成在△ABC上覆盖以AB为直径半圆和以AC为直径半圆，因为△ABC内的阴影部分被半圆覆盖两次，所以=S以AC为直径的圆

－S△ABC=

方法一：4

解法一解法二解法三重叠法（覆盖法）就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。思考题：BCA(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是______________.方法二：用方程组来解决如图所示，对阴影部分与空白部分的面积进行设元xx2xyy∴

8

∴S阴影=4

4

解法一解法二解法三思考题：BCA(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是______________.方法三：把图形分解下旋转图形∴S阴影=AC（B）S以AC为直径的圆

－S以AC为对角线的正方形=

4

解法一解法二解法三例4.（2000年贵阳）如图，正方形边长为2，分别以两个对角顶点为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.

利用___________来计算阴影部分的面积.方程组分析：如果不拆分这个图形，那么这个图形有几个区域？B①②③其中①+②得到一个扇形，而①+②+③得到一个正方形①、③区域的面积为y

,不妨设②区域的面积为

x,xyy∴

4

探索发现1.如图，正方形边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.

Bxyxxxyyy∴

4

∴S阴影=4

1.和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。2.转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的