高中数学苏教版第一章算法初步算法案例 2023版第1章算法案例

算法案例1．通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献．(重点)2．能综合运用所学的算法知识，解决实际问题，会用自然语言、流程图和伪代码表达问题的算法过程．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1“韩信点兵—孙子问题”的算法阅读教材P26～P27“案例2”以上内容，完成下列问题．1．问题名称：人们将“韩信点兵——孙子问题”这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．2．问题解法：“孙子问题”相当于求关于x，y，z的不定方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3x＋2，,m＝5y＋3，,m＝7z＋2))的正整数解．不定方程5x＋2y＝12的正整数解为________．【解析】方程变形为y＝6－eq\f(5,2)x(x＞0)．∴0＜x＜eq\f(12,5)，又∵x∈N*，∴x＝1,2.当x＝1时，y＝6－eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)不是整数；当x＝2时，y＝6－eq\f(5,2)×2＝1.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1))教材整理2辗转相除与更相减损阅读教材P27“案例2”～P29的内容，完成下列问题．1．辗转相除法求两个正整数a，b的最大公约数的步骤是：(1)计算出a÷b的余数r，若r＝0，则b即为a，b的最大公约数；(2)若r≠0，则把前面的除数b作为新的被除数，把余数r作为新的除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为a，b的最大公约数．2．更相减损术求两个正整数的最大公约数的步骤：第一步任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．3．两个常用函数：(1)Mod(a，b)表示a除以b所得的余数．(2)Int(x)表示不超过x的最大整数．填空： 【导学号：11032023】(1)Mod(8,3)＝________.【解析】Mod(8,3)表示8除以3所得的余数．∵8＝2×3＋2，∴Mod(8,3)＝2.【答案】2(2)两个整数490和910的最大公约数是________．【解析】490＝72×2×5,910＝13×7×2×5，∴最大公约数为7×2×5＝70.【答案】70教材整理3用二分法求方程近似解阅读教材P30～P31“练习”以上部分，并完成下列问题．求方程f(x)＝0在区间[a，b]上的近似解的步骤：S1取[a，b]的中点x0＝eq\f(1,2)(a＋b)，将区间一分为二；S2若f(x0)＝0，则x0就是方程的根，否则判断根x*在x0的左侧还是右侧：若f(a)f(x0)>0，则x*∈(x0，b)，以x0代替a；若f(a)f(x0)<0，则x*∈(a，x0)，以x0代替b；S3若|a－b|<c，计算终止，此时x*≈x0，否则转S1.判断正误：(1)用二分法求方程的近似解，应先判断方程在给定区间上是否有解．()(2)二分法求方程近似解的过程是一个多次重复的过程，故可用循环结构处理．()(3)用二分法求方程近似解时，需要对中点(端点)处的函数值的符号进行判断，故实现算法需用选择结构，即用条件语句进行选择．()【解析】(1)√，(2)√，(3)√.由二分法求方程近似解的步骤可知(1)(2)(3)都正确．【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]“韩信点兵——孙子问题”有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组3个连续的自然数，画出流程图，并用伪代码表示算法．【精彩点拨】eq\x(读题，理解题意)→eq\x(转化为求不定方程组的解)→eq\x(画流程图)→eq\x(写伪代码)【自主解答】流程图如图所示．伪代码如下：eq\x(\a\al(m←2,WhileMod(m,15)≠0Or,Mod(m＋1,17)≠0Or,Mod(m＋2,19)≠0,m←m＋1,EndWhile,Printm，m＋1，m＋2))解决此类问题的方法就是从m＝2开始，对每一个正整数逐一检验，当m满足所有的已知条件时，则结束循环，输出m.[再练一题]1．如图1­4­1所示的流程图，输出的结果是________．图1­4­1【解析】m＝10时，不满足条件，则m←10＋＝17时，Mod(m,3)＝2且Mod(m,5)＝2成立，故输出17.【答案】17求最大公约数设计用辗转相除法求8251与6105的最大公约数的算法，并画出流程图，写出伪代码．【精彩点拨】根据辗转相除法的步骤设计算法，然后画出流程图，写出伪代码．【自主解答】算法如下：S1a←8251；S2b←6105；S3如果Mod(a，b)≠0，那么转S4，否则转S7；S4r←Mod(a，b)；S5a←b；S6b←r，转S3；S7输出b.流程图与伪代码：eq\x(\a\al(a←8251,b←6105,WhileModa，b≠0,r←Moda，b,a←b,b←r,EndWhile,Printb))辗转相除法是一个多次循环的过程，当大数被小数除尽时，结束除法运算，此时较小的数就是两个整数的最大公约数.[再练一题]2．求324,243,270的最大公约数.【导学号：11032023】【解】324＝243×1＋81,243＝81×3，所以324与243的最大公约数为81，又270＝81×3＋27,81＝27×3，故81与270的最大公约数为27，综上可知，324,243,270这三个数的最大公约数为27.[探究共研型]二分法求方程的近似解探究1设计用二分法求方程近似解的算法的基本思想是什么？在算法中要用到怎样的结构？【提示】算法的设计思想是：如果估计出方程f(x)＝0在某个区间[a，b]内有一个根x0，则就可以用二分法求得符合误差限制要求的近似解．由于二分法求解是一个多次循环的过程，因此在算法的设计中要用到循环结构，从而必含有条件结构．探究2用二分法求方程log2x＝3－x在区间[a，b]内的一个近似解(误差不超过时，利用循环语句“Do…EndDo”编写伪代码，其循环的终止条件是什么？【提示】由二分法的求解过程知终止条件是|a－b|＜.设计用二分法求方程x3－2＝0在区间[1,2]内的近似解(误差不超过的流程图，写出伪代码．【精彩点拨】先回忆用二分法求近似解的步骤，然后由步骤画出流程图，最后写出算法的伪代码．【自主解答】流程图如图：伪代码如下：eq\x(\a\al(a←1,b←2,c←,Dox0←a＋b/2,fa←a3－2,fx0←x\o\al(3,0)－2,Iffx0＝0ThenExitDo,Iffa×fx0<0Then,b←x0,Else,a←x0,EndIf,Until|a－b|<c,EndDo,Printx0))用二分法求方程的近似解就是逐步把“解”所在的区间缩短，直到近似解或方程的解所在的区间的长度小于误差为止.因此求方程的近似解时，一定要给出精确度.[再练一题]3．流程图1­4­2表示的算法的功能是________．图1­4­2【解析】由流程图知，该算法的功能是用二分法求方程x2－3x＋1＝0在区间[0,1]内的近似解，误差不超过.【答案】用二分法求方程x2－3x＋1＝0在区间[0,1]内的一个近似解(误差不超过1．Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,2)))＋Mod(80,3)的值为________.【导学号：11032024】【解析】∵Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,2)))＝10,80＝26×3＋2，Mod(80,3)＝2，∴Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,2)))＋Mod(80,3)＝12.【答案】122．已知一个班的学生人数在30至56之间，现按3人一排，多出1人；按5人一排，多出3人；按7人一排，多出1人，则该班人数为________．【解析】设此班有m人，问题转化为解关于x、y、z的不定方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1＝m，,5y＋3＝m，,7z＋1＝m，))又m∈(30,56)，故m的值为43.【答案】433．图1­4­3表示的流程图，输出的结果是________．图1­4­3【解析】第一次执行循环体：r＝34，a＝119，b＝34，第二次执行循环体：r＝17，a＝34，b＝17.第三次执行循环体：r＝0，a＝17，b＝0，输出b＝0.【答案】04．给出下面的说法：①若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定有根；②若f(a)f(b)>0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定没有根；③连续不间断的函数y＝f(x)，若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上只有一个根．其中不正确的说法有________个．【解析】①的反例：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x－1，x>0，))区间：(－1,1)．②的反例：图象为区间：(－1,2)．