高中数学人教A版2第一章导数及其应用定积分的简单应用 市获奖

1.7定积分的简单应用第一课时定积分的简单应用一、课前准备1.课时目标1.在理解定积分的概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法．2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.3.会用定积分解决简单的物理问题．(如变力做功、变速运动等)2.基础预探1．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图1，当f(x)>0时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx________0，所以S＝________；(2)如图2，当f(x)<0时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx________0，所以S＝|eq\i\in(a,b,)f(x)dx|＝________；(3)如图3，当a≤x≤c时，f(x)<0，eq\i\in(a,c,)f(x)dx________0；当c≤x≤b时，f(x)>0，eq\i\in(c,b,)f(x)dx________0，所以S＝|eq\i\in(a,c,)f(x)dx|＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx＝________＋________.(4)如图4，在公共积分区间[a，b]上，当f1(x)>f2(x)时，曲边梯形的面积为S＝eq\i\in(a,b,)(f1(x)－f2(x))dx＝________.2.作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即________________.3.如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所作的功为________________.二、学习引领1．关于定积分几何意义的补充定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dx，eq\i\in(a,b,)|f(x)|dx与|eq\i\in(a,b,)f(x)dx|的几何意义不同，绝不能等同看待，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，因而它的图象可都在x轴的上方，也可都在x轴的下方，还可以在x轴的上下两侧，所以eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的曲边梯形的面积的代数和；而被积函数|f(x)|是非负的，所以eq\i\in(a,b,)|f(x)|dx表示在区间[a，b]上以|f(x)|为曲边的曲边梯形的面积，而|eq\i\in(a,b,)f(x)dx|则是eq\i\in(a,b,)f(x)dx的绝对值，三者的值一般是不相同的.2．利用定积分求曲线所围成平面图形面积的步骤(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点的坐标，直线与曲线交点的横坐标是确定积分区间的关键点；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。3.变速运动路程、位移的积分求法路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′分别为(1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，则s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt；s′＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.(2)若v(t)≤0(a≤t≤b)，则s＝－eq\i\in(a,b,)v(t)dt；s′＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.(3)在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，则s＝eq\i\in(a,c,)v(t)dt－eq\i\in(c,b,)v(t)dt；s′＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.4.变力做功的积分求法(1)求变力做功，要根据物理的实际意义，求出变力F的表达式．(2)由功的定义，物体在变力F(x)的作用下，沿F(x)的方向移动叫直线运动，从x＝a移至x＝b(a<b)，确定出起始的位置．(3)由变力做功公式求出W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.即为变力F(x)做的功，当力F的方向与运动方向夹角为θ时，所做的功为W＝eq\i\in(a,b,)F(x)cosθdx.三、典例导析例1计算由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4所围成图形的面积．思路导析：方法1:先作出图形，按照x的取值将图形合理地分割为几部分，然后建立积分区间求值。方法2：根据y的取值，直接建立积分式求解。解析：解法一：如下图所示，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝x－4，))得交点A(2，－2)、B(8,4)，所求面积S可分为S1与S2两部分．S1＝eq\i\in(0,2,)[eq\r(2x)－(－eq\r(2x))]dx＝2eq\r(2)eq\i\in(0,2,)eq\r(x)dx＝2eq\r(2)×eq\f(2,3)×xeq\f(3,2)|eq\o\al(2,0)＝eq\f(16,3).S2＝eq\i\in(2,8,)[eq\r(2x)－(x－4)]dx＝eq\f(38,3).于是，S＝S1＋S2＝eq\f(16,3)＋eq\f(38,3)＝18.解法二：选取y为积分变量，有S＝eq\i\in(－2,4,)[(y＋4)－eq\f(1,2)y2]dy＝eq\f(1,2)y2|eq\o\al(4,－2)＋4y|eq\o\al(4,－2)－eq\f(1,6)y3|eq\o\al(4,－2)＝18.归纳总结：本题综合考查了定积分求“曲边梯形”的面积等知识，灵活运用“分割法”转化为直边多边形和曲边多边形的面积是解题的关键．变式训练：由两条曲线y＝x2，y＝eq\f(1,4)x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．例2列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a(t)＝－0.4tm/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离站多远处开始制动？(精确到0.1m)思路导析：做变速直线运动的物体，位移s对时间t的导数s′(t)是瞬时速度v(t)，速度v对时间t的导数v′(t)是瞬时加速度a(t)．反过来，位移就是对速度的定积分，速度就是对加速度的定积分，利用这个原理可以解决本题。解析：(1)由题v′(t)＝a(t)，∴eq\i\in(0,t,)a(t)dt＝v(t)|eq\o\al(t,0)，∴v(t)＝v(0)＋eq\i\in(0,t,)a(t)dt.∴v＝v0＋eq\i\in(0,t,)(－0.4t)dt.因v0＝72km/h＝20m/s.∴v＝20－eq\i\in(0,t,)0.4tdt＝20－0.2t2|eq\o\al(t,0)＝20－0.2t2，令v＝0，解得t＝10s.(2)设列车由开始制动到停止所走过的路程为s.则s＝eq\i\in(0,10,)vdt＝eq\i\in(0,10,)(20－0.2t2)dt＝(20t－eq\f(0.2,3)t3)|eq\o\al(10,0)＝200－eq\f(200,3)＝eq\f(400,3)m≈133.3m.答：列车应在进站前10秒和进站前约133.3m处制动．归纳总结：若作变速直线运动物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动的物体在时间内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程；如果时，则路程.变式训练：A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．例3如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB＝50m，BC＝40m，CD＝30m，变力(其中x为距离，单位：m，变力F单位：N)在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°，在CD段F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．思路导析：由定积分的定义求物体沿与变力F相同方向从x＝a移动到x＝b时力F所作的功是W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx，由于本题中的力与物体的位移不同方向，因此，还需转化为同一方向再做处理。解析：在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos45°，由变力作功公式得W==。答：在变力F作用下物体由A运动到D做的功约为1480J．归纳总结：(1)当变力与物体运动方向夹角为θ时，需求出它在运动方向上的分力F1＝Fcosθ，再用变力做功的定积分公式计算．(2)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．变式训练：一物体在力F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，0≤x≤2,3x＋4x>2))(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)作的功为()A．44 B．46C．48 D．50四、随堂练习1.由y＝eq\f(1,x)，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln2B．ln2－1C．1＋ln2D．2ln23．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3s～6s间的运动路程为()A．46m B．46.5mC．87m D．47m解析：s＝eq\i\in(3,6,)(3t＋2)dt＝(eq\f(3,2)t2＋2t)|eq\o\al(6,3)＝(54＋12)－(eq\f(27,2)＋6)＝46.5(m)．故选B.3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.eq\i\in(0,2,)(x2－1)dxB．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|C.eq\i\in(0,2,)|x2－1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx4.下图中阴影部分的面积S＝________.5．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用力下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5m直线运动到x＝10m处做的功是________6.一条水渠横断面为拋物线型，如图，渠宽AB＝4米，渠深CO＝2米，当水面距地面0.5米时，求水的横断面的面积．五、课后作业1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()A．①③B．②③C．①④D．③④2.以初速40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.eq\f(160,3)m B.eq\f(80,3)mC.eq\f(40,3)m D.eq\f(20,3)m3．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为eq\f(9,2)，则k=_________.4．一变速运动物体的运动速度v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t(0≤t≤1),at(1≤t≤2),\f(b,t)(2≤t≤e)))则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)__________．5.一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为？6．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s运动的路程．参考答案1.7定积分的简单应用第一课时定积分的简单应用一、课前准备2.基础预探1.>eq\i\in(a,b,)f(x)dx<－eq\i\in(a,b,)f(x)dx<>－eq\i\in(a,c,)f(x)dxeq\i\in(c,b,)f(x)dxeq\i\in(a,b,)f1(x)dx－eq\i\in(a,b,)f2(x)dx2.s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt3.W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx三、典例导析例1变式训练解析：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝eq\f(x2,4)交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)dx－eq\i\in(0,2,)eq\f(1,4)x2dx)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)。例2变式训练解析：(1)设A到C经过t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝eq\i\in(0,20,)1.2tdt＝0.6t2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(20,0)))＝240(m)．(2)设从D→B经过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，所以DB＝eq\i\in(0,20,)(24－1.2t)dt＝240(m)．(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．从C到D的时间为t3＝eq\f(6720,24)＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．例3变式训练解析：W＝eq\i\in(0,4,)F(x)dx＝eq\i\in(0,2,)10dx＋eq\i\in(2,4,)(3x＋4)dx＝10xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(02))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x2＋4x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(24＝46.))答案：B四、随堂练习1.解析：画出曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分．∴S＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2－ln1＝ln2.故选A.2．解析：s＝eq\i\in(3,6,)(3t＋2)dt＝(eq\f(3,2)t2＋2t)|eq\o\al(6,3)＝(54＋12)－(eq\f(27,2)＋6)＝46.5(m)．故选B.答案：B3．解析：y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.答案：C4.解析：由图知，S＝eq\i\in(0,2,)[(5－x2)－1]dx＝(4x－eq\f(x3,3))|eq\o\al(2,0)＝(8－eq\f(8,3))－0＝eq\f(16,3).答案：eq\f(16,3)5．解析：W＝eq\i\in(5,10,)F(x)dx＝∫eq\o\al(10,5)(3x2－2x＋5)dx＝(x3－x2＋5x)|eq\o\al(10,5)＝(1000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．答案：825(J)6.解析：如图，建立直角坐标系，设拋物线方程为x2＝2py，代入(2,2)得2p＝2，∴x2＝2y，将点(x,1.5)代入得x＝±eq\r(3)，S==（1.5x-）=。∴水的横断面的面积为2eq\r(3)平方米．五、课后作业1.解析：①应是S＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx，②应是S＝eq\i\in(0,8,)2eq\r(2x)dx－eq\i\in(4,8,)(2x－8)dx，③和④正确．故选D.答案：D2.解析：由v＝40－10t2＝0⇒t2＝4，t＝2.∴h＝eq\i\in(0,2,)(40－10t2)dt＝(40t－eq\f(10,3)t3)|eq\o\al(2,0)＝80－eq\f(80,3)＝eq\f(160,3)(m)．故选A.3．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝kx))消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则阴影部分的面积为eq\i\in(0,k,)(kx－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0k))＝eq\f(9,2).即eq\f(1,2)k3－eq\f(1,3)k3＝eq\f(9,2)，解得k＝3.答案：34．解析;∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；又1≤t≤2时，v(t)＝at，∴v(1)＝a＝2，v(2)