流体力学(安建工郭二宝老师流力)考试必备

第一章绪论一、流体力学及其发展史：

1、流体力学的研究对象研究流体运动规律及应用的学科流体的基本特性———流动性流体在切力作用下，产生流动的特性此外，流体不受拉力2、连续介质假设欧拉提出：只研究流体宏观运动，不研究其微观运动连续介质模型：把流体当作由流体质点构成，内无空隙的连续体。质点：大小同一切流动空间相比微不足道，又含有大

量分子，具有一定质量的流体微团。同牛顿质点的不同：有形状变化

3、研究方法理论研究、实验、数值模拟4、流体力学的发展史第一阶段：萌芽阶段

B.C.250年阿基米德<<论浮体>>C.1500年达芬奇<<论水的运动和水的测量>>

特点:感性认识的基础第二阶段：奠定了作为一门独立学科的基础阶段

16世纪中叶——17世纪中叶：偏重于流体静力学17世纪中叶——18世纪中叶：1687年牛顿的黏性流体内摩擦定律1738年伯努利<<水动力学>>,基本概念1755年欧拉<<流体运动的一般原理>>,理流方程第三阶段：沿着古典流体力学和水力学两条道路发展（18世纪中叶——19世纪末）古典流体力学：欧拉提出理想流体

1826年纳维提出黏性流体运动微分方程水力学：达西与魏斯巴赫沿程水头损失公式第四阶段：发展成为近代流体力学阶段（19世纪末至今）理论与实验密切结合：雷诺于1882年提出相似原理加速理论与实验的结合、理论与生产实践密切联系

1904年普朗特提出光辉的边界层理论5、流体力学的工程应用由于空气动力学的发展，人类研制出3倍声速的战斗机。由于空气动力学的发展，人类研制出3倍声速的战斗机。使重量超过3百吨，面积达半个足球场的大型民航客机，靠空气的支托象鸟一样飞行成为可能，创造了人类技术史上的奇迹。时速达200公里的新型地效艇，它们的设计都建立在水动力学、船舶流体力学的基础之上。利用超高速气体动力学、物理化学流体力学和稀薄气体力学的研究成果，人类制造出航天飞机，建立太空站，实现了人类登月的梦想。航速达30节，深潜达数百米的核动力潜艇；排水量达50万吨以上的超大型运输船；用翼栅及高温，化学，多相流动理论设计制造成功大型汽轮机，水轮机，涡喷发动机等动力机械，为人类提供单机达百万千瓦的强大动力。用翼栅及高温，化学，多相流动理论设计制造成功大型汽轮机，水轮机，涡喷发动机等动力机械，为人类提供单机达百万千瓦的强大动力。大型水利枢纽工程，超高层建筑，大跨度桥梁等的设计和建造离不开水力学和风工程。环境工程灾害预报与控制；发展更快更安全更舒适的交通工具；流体力学需要与其他学科交叉，如工程学，天文学，物理学，材料科学，生命科学等，在学科交叉中开拓新领域，建立新理论，创造新方法。流体力学需要与其他学科交叉，如工程学，天文学，物理学，材料科学，生命科学等，在学科交叉中开拓新领域，建立新理论，创造新方法。二、作用在流体上的力力的分类：隔离体△T△P△AA△F单位：pa，即N/m2切应力：压应力：1、表面力：作用于流体表面，并与受作用的表面面积成比例的力。包括：摩擦力、流体边界作用力表面力和质量力2、质量力（体积力）即作用于流体的每个质点上，并与作用的流体质量成正比的力。记：F常见：重力、离心力质量力常以单位质量力来度量的。单位质量力在各坐标系上的分量：单位质量力单位：m/s2

三、流体的主要物理性质：包括：惯性、黏滞性、压缩性和表面张力1、惯性：定义：物体保持原有运动状态的性质。惯性大小的度量即质量。记m

（1）密度：单位体积流体的质量，记单位：kg/m3（2）容重：单位体积流体重量，记水的容重：9800N/m3=9.8KN/m3单位：N/m3常见流体密度：水103kg/m3，水银13.6×103kg/m3

一个标准大气压下零度空气的密度1.29kg/m32、黏滞性：（1）黏滞性的表象：y0xhUuydyu+du

流层质点间相对运动产生内摩擦力，抵抗其相对运动，这种性质称为黏滞性。此内摩擦力称为黏滞力。Newton于17世纪研究两平板间流动现象（2）Newton内摩擦定律：研究表明：相邻流层间产生黏滞力T的大小与下列因素有关同时与液体性质相关实验结果写成表达式：单位面积上内摩擦力（切应力）：y0xhUuydyU+du式中：—动力黏滞系数（动力黏度）单位：pa·s—流速在流层法线方向的变化率，称流速梯度当u和h较小情况下，该值为常数

即流速呈线性分布y0xhUuydyU+du（3）流速梯度的另一含义：由于：dydudtdγU+duudt内摩擦定律又可以表达为：式中，称剪切变形速度所以：（4）动力黏滞系数μ：μ是流体黏性大小的度量；μ越大，流体的黏性越大，流动性越差。另外还可用运动黏滞系数表示：单位：m2/s黏度与压强关系：液体黏度受压强影响很小气体黏度不受压强影响黏度与温度的关系：水的黏度随温度升高而减少空气黏度随温度升高而增大（5）理想流体：

μ=0，即无黏性【例1-1】长度L=1m，直径d=200mm水平放置的圆柱体，置于内径D=206mm的圆管中以u=1m/s的速度移动，已知间隙中油液的相对密度为s=0.92，运动黏度ν=5.6×10-4m2/s，求所需拉力F？动力黏度为由牛顿内摩擦定律

解】间隙中油的密度为【例1-2】旋转圆筒黏度计，外筒固定，内筒由同步电机带动旋转。内外筒间充入实验液体，已知内筒半径r1=1.93cm，外筒r2=2cm，内筒高h=7cm。实验测得内筒转速n=10r/min，转轴上扭矩M=0.0045N·m。试求该实验液体的黏度。因为间隙很小，速度近似直线分布。

内筒切应力式中扭矩得解】3、压缩性和膨胀性：定义：流体因压力、温度等因素变化，体积发生变化，外因消除后又恢复原体积。（1）液体的压缩性和膨胀性

1）液体压力变化引起的压缩性：液体压缩性以体积压缩率κ表示：体积压缩率κ指一定温度下，压强每增加一个单位，流体体积变化率。考虑到增加前后质量无变化：所以：以体积压缩率系数κ倒数表示体积模量K：2）温度变化引起的液体膨胀性：流体力学中，常用膨胀性表示因温度升高，体积膨胀的性质。以体积膨胀系数av

表示体积膨胀系数av

表示在一定压强下，单位温度升高，体积的变化率（2）不可压缩流体：许多流动中，流体密度变化很小，可忽略。ρ=const4、表面张力

定义：在液体表面，分子作用范围内，由于分子引力大于斥力，在表面沿表面方向产生张力。方向：与液体表面相切。大小：可由表面单位长度上所受的张力σ来度量。单位：N/m毛细管现象：水σσ水银σσ5、汽化压强：汽化：液体分子逸出液面向空间扩散的过程。凝结：汽化的逆过程。饱和蒸汽压（汽化压强）

第二章流体静力学流体静力学是研究流体静止状态下的力学规律静止分两种：绝对静止和相对静止流体静止没有内摩擦力，只有压应力（压强）一、流体静压强的特性：

1、特性一：静压强方向是垂直指向作用面（即沿作用面的内法线方向）证明：NNpnPτ2、特性二：静压强的大小与作用面方向无关，或者说作用于同一点上各方向的静压强大小相等证明：0yzxdxdydz△py△px△pz△pn（1）作用力①表面力：ABC②质量力：0yzxdxdydz△py△px△pz△pnABC（2）受力平衡：∑Fi=0研究x方向：∑Fx=0令四面体OABC向O点收缩成极小流体质点：略去高阶无穷小量：Px=pn，Pz=pnPy=pn同理：Px=py=pz=pn二、流体平衡微分方程在已知静止流体的压强特性基础上，推求静压强分布规律。1、流体平衡微分方程0yzxdxdydzadbca‘d‘b‘c‘NpN（1）受力分析①表面力N点：O’X向：M点：一元偏微分：一元偏微分：作用于两面压力：adbca‘d‘b‘c‘MpM0yzxdxdydzNpNO’（2）静止流体受力平衡：②质量力：化简得：同理：0yzxdxdydzadbca‘d‘b‘c‘MpMNpNO’上式用向量表示：该方程表明：静止流体中各点单位质量流体所受质量力和表面力平衡。2、平衡微分方程的全微分式：上式两边分别乘以dx、dy、dz，然后相加得：由于p=p（x、y、z）是坐标点连续函数，由全微分定理：因此函数W是势函数，质量力是有势的力。3、等压面：

对于常密度流体，积分：由边界条件：边界点上势函数W0和压强p0即压强相等的点构成的平面或曲面。

常见：自由液面证明：因等压面上各点压力相等，p=c，即dp=0：由于密度ρ≠0，则等压面方程：xy0zMP=c

重要性质：等压面与质量力相交三、重力场中流体静压强的分布规律1、液体静力学基本方程式：0yzp0phzz0由静止液体平衡全微分方程式：重力场中，质量力X=Y=0，Z=-g0yzp0phzz0所以：或者：故：上两式称液体静力学基本方程式。气体密度很小，p=p02、气体压强的计算：3、压强的度量（1）绝对压强与相对压强：绝对压强：以无气体分子存在的完全真空为基准计量的压强，记p‘或pabs

。相对压强：把当地大气压作为零点计量的压强。记p

显然：p=pabs-pa

式中：pa—大气压强。

1标准大气压强1atm=101.325kpa1工程大气压1at=1kgf/cm2=98kpa工业设备常用压力表显示读数，该读数即相对压强，称表压。相对压强：pA=pa+γh-pa=γhpaAh2、真空度：

绝对压强总为正，相对压强可正，可负。当绝对压强小于当地大气压pa，即相对压强为负值，称该点存在真空。记pvPv=pa-p‘例2-1由上图可知：pv=-p完全真空当地大气压某A点压强pA

papvPc’pA‘某点C压强4、水头、液柱高度和能量守恒某一点位于某一基准面以上的高度。称为位置高度或位置水头。ZAABP0>PaZB基准面Z项：（1）测压管高度与测压管水头Z物理含义：单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。测压管的概念单位重量流体所具有的压强势能，简称压能。液体在压强p的作用下上升hp称测压管高度或压强水头p/γ项物理含义：PA/γA’ZAZB基准面BP0>PaABPB/γB'称为测压管水头，单位重量液体具有的总势能表示静止液体中各点的测压管水头相等。或静止液体中各点单位重量液体具有的总势能相等。（2）真空度根据液体静力学基本方程p1<pa空气hvpa5、压强的计量单位（1）标准国际单位制：pa与kpa（2）工程单位制：kgf/cm2（3）大气压单位制：1atm=101.325kpa1at=1kgf/cm2=98kpa（4）液柱高单位制：由开口容器内某点液体压强以相对压强表示P=γhh=p/γ所以：单位：mH2O，mmHg单位换算：

6、压强的测量1、测压管在压强作用下，液体在玻璃管中上升高度，设被测液体的密度为ρ，大气压强为pa，由式可得M点的绝对压强为

M点的计示压强为2、U形水银测压计Paρ1Mρh1h2ρ12等压面p1=p+ρ1gh1p2=pa+ρ2gh2所以：p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2M点的绝对压强为：p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1

3、U形管差压计

用来测量两个容器或同一容器（如管道）流体中不同位置两点的压强差。因p1=p2

，故若两个容器内是同一流体，即ρA=ρB=ρ1当A，B在同一高程△Z=0。整理：例2.2，试标出容器中1，2两点的位置水头，测压管高度和测压管水头？（1）z1+p1/g=z2+p2/g（2）z2+p2/g=z3+p3/g213例2.1，如图示，1≠2，下列哪个方程式正确？21Z2p2/gZ2p1/g例2.3例2.4已知=800kg/m3,p1=64kpa，

p2=79.68kpa求z=?poz21解:z1+p1/g=z2+p2/gz=z1–z2=(p2–p1)/g=(79.68–64.0)103/(9.8800)z=2m例2.5已知上、下两层油重量相等问(1)两种油深度h1=?h2=?(2)两测压管高差△h=?h1h2△hh2'5γ1γ2解（1）γ1V1=γ2V2所以：γ1h1=γ2h2且：h1+h2=5得：h1=5γ2/(γ1+γ2)h2=5γ1/(γ1+γ2)解（2）γ1h1=γ2h'2△h=h1-h2'且△h=5(γ2-γ1)//(γ1+γ2)例2.6图示侧壁上方装有U型水银测压计，读数hp=2.0cm，试求安装于水面下3.5m处压力表C的读数？P03.5CMNhp解：如图取MN平面为等压面以相对压强计：0=P0+ρHgghpP0=-ρHgghp压力表读数C：PC=P0+ρghC=ρghC-ρHgghp=7.64KPa例2.7用U型水银差压计测量水管A,B两点压强差，已知两测点高差△Z=0.4m,差压计读数hp=0.2m,试问A,B两点压强差和测压管水头差？BA1hp△Z解：由前述差压计公式：测压管水头差：例2.8如图三组串联U型水银测压计，求A点的压强。解：四、流体的相对平衡：1、等加速直线运动容器中流体的平衡0ZyH（1）压强分布规律X=0，Y=-a，Z=-g边界条件：y=0，Z=H处p=p0（2）等压面：dp=00ZyHP0积分自由液面方程所以（3）测压管水头：2、等角速度旋转容器中液体的平衡（1）压强分布规律zaryxr所以由边界条件r=0，Z=Z0，P=P0（2）等压面dp=0,得等压面方程Z0HP0自由液面方程：将带入压强分布方程：由在同一圆柱面上：zaryxr（3）测压管水头例2.9如图圆桶，内径R，原盛水深H，现以ω角速度旋转，试求运动稳定后容器中心及边壁处水深。解：Z0HP0Zωω由自由液面公式容器边点与中心点处水深差：几何上，旋转抛物体体积是同底等高圆柱体体积的一半化简：联立得：例2.10水车沿直线等加速行驶，长3m，宽1.5m，高1.8m。盛水

深度1.2m，问试使水不溢出，加速度a允许值是多少？0Zy1.81.2解：由自由液面方程所以：五、流体作用在平面上的总压力1、解析式：xyohyDycyy’ccx’DDbbaadAPhchD（1）总压力的大小和方向P=gsin()ycA=ghcA（2）总压力的作用点作用面ab对x轴的静矩平面ab对x轴的惯性矩xyohyDycyy’ccx’DDbbaadAPhchD故压力大小为P=pcA根据惯性矩平行移轴定理

同理对y轴利用合力矩定理其中Icxy为(x'与y'轴)的惯性积，若关于y'为对称,则Icxy=0xD=xc,则c与D均在对称轴y'上几种常用截面的几何性质截面几何图形面积A型心yc惯性距Icx

bh

1/2h1/12bh31/2bh2/3h1/36bh31/2h(a+b)xycydybhxyybhdyLxyyxrcy=rsindy=rcosdx=rcos2、图算法：（1）压强分布图

将压强与水深关系式p=p0+gh绘制到某一受压的矩形平面上形成的图形。

绘制规则：

1、以一定比例的线段长度表示压强的大小。

2、用箭头表示压强的方向，并与受压面垂直。相对压强分布图hγhγhhh

γh（2）图算法P=bSγhhbLDPe总压力P的作用点通过矩形的压力中心点压力中心D的位置：压强分布图为三角形：e=L/3压强分布图为梯形：γhh2bLDPeh1例2-11如图表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2每米宽水闸左边的总压力为

解：

每米宽水闸右边的总压力为每米宽水闸上所承受的净总压力为：

F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）五、流体作用在曲面上的总压力nznxxzdAdPabdefdAxdAzEF总压力的水平方向分力：总压力的铅垂方向分力：总压力的大小：总压力作用线与水平夹角：压力体压力体：Oh例2-12设有一弧形闸门，如图所示，已知闸门宽度b=4m，圆心角φ=45o,半径R=2m,闸门的轴恰好与水面平齐，求闸门所受的总静水压力。解：水平总分力Px铅垂总分力PZABB'总压力的大小：总压力作用线与水平夹角：六、

浮体与潜体的稳定性Pz1JKABCDEFPx2PzPx1Pz2Pz1=ρgVABEKJPz2=-ρgVAFEKJ1、浮力的原理Pz=Pz1+Pz2==-ρg(VAFEKJ-VABEKJ)=-ρgVAFEB2、物体在静止液体的平衡和稳定第三章流体运动学一、流体运动的描述1、拉格朗日法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。图示速度的表示：加速度的表示：同理：ρ=ρ（a，b，c，t），P=P(a，b，c，t)2、欧拉法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的。同理：ρ=ρ（x，y，z，t），P=P（x，y，z，t）欧拉法:图示守株待兔跟踪追击拉格朗日法：两法比较：用欧拉法求流体质点的加速度复合函数求导：分量式：矢量式：

第一部分是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度或时变加速度。第二部分是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加速度或位变加速度。恒定性：流场的物理量是否随时间变化。均匀性：流场的物理量是否随空间位置变化。HABCD举例：若H不变,则有/t=0即流动恒定,对等截面(A与B),位变加速度为零。对非等截面(C与D),位变加速度一般不为零。

若H是变化的,则/t不为零，即流动非恒定。而对于位变加速度,与上述结论相同。全导数或质点导数：二、欧拉法的基本概念：1、流动的分类：（1）恒定流和非恒定流：（2）一元、二元、三元流动：（3）均匀流和非均匀流：或流体作均匀直线运动表征液体运动的物理量A，如流速、加速度、动水压强等水库水库t0时刻t1时刻2、迹线：迹线是流场中某一质点运动的轨迹。迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线。

dx=uxdt

dy=uydt

dz=uzdt其数学表达式为：3、流线：（1）流线的概念流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线。（2）流线的基本特性

1）通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。

2）流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。

3）流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。（3）流线微分方程由流线的定义知，空间点上流体质点的速度与流线相切：例3-1：设在流体中任一点的速度分量，由Euler法给出：uX=x+t，

uy=-y+t，uz=0，试求t=0时通过点A（-1，-1）流体质点的迹线和流线。解：(1)由迹线的微分方程解得：当t=0时，x=-1，y=-1，得：C1=0，C2=0得：消去时间t:(2)由流线的微分方程积分：当t=0，x=-1，y=-1代入，得C=-1所以通过（-1，-1）在t=0时刻流线xy=1例3-2：设在上例中考虑速度与时间无关，即恒定流，则uX=x，

uy=-y，uz=0，试求t=0时通过点A（-1，-1）流体质点的迹线。解：

由迹线的微分方程消去dt

得：积分：xy=c当t=0，x=-1，y=-1代入，得C=1所以得迹线方程：xy=1所以，在恒定流中，流线和迹线相重合的。4、流管、流束和元流、总流在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。充满流体的流管称为流束。在流束上作于流线正交的横断面称为过流断面。（1）流管与流束（2）元流与总流元流：过流断面面积无限小的流束。元流的过流断面上，各点的速度、压强可认为是相同的。总流：过流断面面积为有限大小的流束，即由无数元流组成的。5、流量和断面平均流速（1）流量单位时间内通过过流断面的流体体积称为体积流量，以Qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。元流：dQv=udA总流：质量流量重量流量（2）断面平均流速三、连续性方程1、控制体：被流体流过的相对某个坐标系而言，固定不变的任何空间体积。2、连续性微分方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。dt内，沿x轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为：ydt内，沿x轴方向从右边微元面积dydz流出的流体质量为：ydt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即：同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为：六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为：六面体内因密度的变化而引起的质量变化为：由于流经六面体的流体质量总变化为：此为可压缩流体非恒定三维流动的连续性方程若流体是均质、不可压缩流体，ρ为常数：或：3、总流的连续性方程根据质量守恒定律即知：在单位时间内通过A1流入控制体的流体质量等于通过A2

流出控制体的流体质量。或：例3-3假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为Ux=3（x+y3)，Uy=4y+z2，Uz=x+y+2z。试分析该流动是否连续。【解】由：所以故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的。例3-4有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速u1=2m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面2-2处的平均流速u2为多少？【解】由：四、流体微团运动的分析1、微团运动的分解流体微团的运动：移动、转动和变形。o'Mδs（x+δx，

y+δy，

z+δz）其中：记：所以：速度式写成：展开：2、微团运动的组成分析（1）平移速度（2）线变形速度ux,，

uy,，

uz,单位时间内微团x方向的相对线变形量称x方向的线变形速度（3）角变形速度同理：δα

δβ（4）旋转角速度称为流体微团在xoy平面上角变形速度同理：δαδβ同理：液体质点运动的基本形式平移线变形边线偏转角变形旋转ux，uy，uz3、有旋流和无旋流称为无旋流，否则称有旋流例3-5：设一流动速度场ux=ay，uy=uz=0，其中a是不为零的常数，流线是平行x轴直线，试判断流动是否有旋。解：所以是有旋流动。例3-6：水桶中水体做圆周运动，各质点速度为uθ=k/r，ur=0。其中k为不为零的常数，流线系同心圆，试判断流动是否有旋。解：所以：所以除原点外是无旋流动。自然界多数流动由于黏性作用，一般都是有旋流动。（1）涡线与流线类似，是一条在有旋运动中反映瞬时角速度方向的曲线。涡线方程：（2）涡量（旋度）（3）涡管与流管类似，由同一时刻的无数条涡线组成的管状封闭面。（4）涡通量在流场中某一曲面A，其面积分（5）速度环量xzyOM（a，b，c）（t0）（x，y，z）t若给定a，b，c，即为某一质点的运动轨迹线方程。返回（a、b、c、t）称为拉格朗日变数。xzyOM（x，y，z）t时刻若x，y，z为常数，t为变数，？若t为常数，x，y，z为变数，？若针对一个具体的质点，x，y，z，t均为变数，且有x（t），y（t），z（t），？返回（x，y，z，t）称为欧拉变数。第四章流体动力学基础一、理想流体运动微分方程YZXbdydzdxcap（1）受力分析（X方向)只有两个表面力和一个质量力。YZXbdydzdxcap表面力：质量力：（2）由牛顿第二定律YZXbdydzdxcap化简：同理：矢量形式：二、元流的伯努利方程1、理想流体运动微分方程的伯努利积分考察一元元流流动：理想流体运动微分方程各分式两边同乘：dx、dy、dz限制条件：（1）质量力只有重力（2）均质、不可压缩流体（3）恒定流：所以：积分：即：或：理想，恒定，均质、不可压质量力只有重力，沿元流五个制约条件：

2、理想流体元流伯努利方程的意义：（1）物理意义：（2）几何意义：（3）水头线：（4）毕托管测速ABPA/γPB/γh代入伯努利方程：用毕托管和静压管测量气体流速3、黏性流体元流的伯努利方程实际流体运动时产生阻力，克服阻力做功，一部分机械能不可逆的转化为热能。三、黏性流体总流的伯努利方程1、渐变流及其性质均匀流或者流线近于平行直线的流动渐变流否则急变流性质：演示（1）渐变流过流断面近于平面，各点速度方向近于平行。（2）恒定渐变流过流断面上动压强近似按静压强分布。2、恒定总流的伯努利方程dA1dA2Z1Z2U1U2112200由：以γdQ分别乘以上式两边，得单位时间通过元流两过流断面的能量关系：dA1dA2Z1Z2U1U2112200积分：三类积分：（1）势能积分渐变流过流断面（2）动能积分（3）水头损失积分用一平均值hw代替结果：应用能量方程式的条件：（1）水流必需是恒定流；（2）作用于液体上的质量力只有重力；（3）所选取两个过流断面，水流应符合渐变流的条件；（4）系均质、不可压流体；（5）两断面间无分、汇流；（6）流程中途没有能量H输入或输出。3、总流伯努利方程的意义：总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能或位置水头。总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能或压强水头。总流过流断面上单位重量流体的平均势能。总流过流断面上单位重量流体的平均动能或平均流速水头。总流过流断面上单位重量流体的平均机械能。4、总流的水头线200112实际流体总流的能量方程式表明：水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。

总水头线测压管水头线

实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。水力坡度J——单位长度流程上的水头损失，测压管坡度5、总流伯努利方程的补充（1）有能量输入或输出（2）有分流或合流Q1Q2Q31122331'1'由于1-1系渐变流过流断面，面上各点总势能相等：6、恒定不可压缩气体总流的伯努利方程001122Z1Z2ρρap1p2列1-1与2-2断面能量方程：转化成压强形式：由于：所以：当气流密度与外界空气密度相差很小时：7、应用能量方程时注意点：（1）选取高程基准面；（2）选取两过流断面；

所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之间，水流可以不是渐变流。（3）选取计算代表点；（4）选取压强基准面；（5）动能修正系数一般取值为1.0。8、文丘里流量计1122收缩段喉管扩散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，对1-1、2-2断面列能量方程式：整理得：由连续性方程式可得：或代入能量方程式，整理得：则:当水管直径及喉管直径确定后，K为一定值，可以预先算出来。若考虑水头损失，实际流量会减小，则μ称为文丘里管的流量系数，一般约为0.95~0.98

例4-1.如图所示，一等直径的输水管，管径为d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为H=2m，若不计水流运动的水头损失，求管道中的输水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：对1-1、2-2断面列能量方程式：其中：所以有：可解得：则：答：该输水管中的输水流量为0.049m3/s。

例4-2.水流通过如下图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量Qv。

【解】先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：列1-1和2-2断面的伯努利方程：

由连续性方程：将已知数据代入上式，得流量：流线图均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流急变流急变流急变流返回第五章流动阻力和水头损失本章引导本章主要研究恒定流动时，流体在管道、渠道内的流动阻力和水头损失的规律。粘性总流的能量方程中有一项水头损失hw。本节重点讨论如何计算hw。纵向边界的水头损失液体的hw会因为边界条件的不同而发生很大的变化。第一节流动阻力与水头损失分类

一、水头损失的两种形式：沿程水头损失、局部水头损失

局部水头损失hj（localheadloss）：由局部阻力作功而引起的水头损失称为局部水头损失。1、沿程阻力和沿程水头损失

沿程阻力（frictionaldrag）：当限制流动的固体边界使流体作均匀流动时，流动阻力只有沿程不变的切应力（牛顿内摩擦定律），该阻力称为沿程阻力。

沿程水头损失hf

（frictionalheadloss）：由沿程阻力作功而引起的水头损失称为沿程水头损失。2、局部阻力和局部水头损失

局部阻力（localresistance）：液流因固体边界急剧改变引起速度分布的变化，从而产生的阻力称为局部阻力。3、水头损失产生原因：

沿程水头损失hf：主要由于流体的粘性造成流体内部的流层间存在“内摩擦阻力”（牛顿内摩擦定律）它造成一部分机械能不可逆的转化为热能。在较长的直管道和明渠中的水头损失都是以hf为主。

局部阻力水头损失hj

：主要是因为固体边界形状突然改变，从而引起水流内部结构遭受破坏，产生旋涡造成。在“弯头”，“闸、阀”，“突然扩大、缩小”等处都是以hj

为主。纵向边界的水头损失二、水头损失计算公式：1、液流横向几何边界对水头损失的影响：前面介绍了由于液流纵向几何边界突然改变而产生了局部水头损失。同样，液流横向几何边界的改变也会对水头损失产生影响。

如：圆管的满管流：

要描述它的影响必须综合A与Χ。我们用A与Χ的比值R来表示，R称水力半径：

矩形渠道：圆管的半管流：

液流横向几何边界可以用过流断面积A以及过流断面与固壁接触的周界线χ来表示。Χ称湿周。2、沿程水头损失计算达西（DarcyH）和魏斯巴赫（Weisbach）依据前人实验资料，提出圆管计算公式（常被称达西公式）：

式中：λ—沿程阻力系数，是表征沿程阻力大小的一个无量纲数。

式中：ζ—局部阻力系数，由实验确定数值。非圆管流：3、局部水头损失计算液流的总水头损失图4、液流的总水头损失：第二节

粘性流体的两种流态雷诺实验装置图一、两种流态：

1883年英国物理学家雷诺（Reynolds,O.）通过实验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。

实验发现，υ‘c不固定,受起始条件与实验时的扰动影响。υc确是不变的。一般把下临界流速υc称临界流速υc

。雷诺实验基本现象

：（1）流速由小到大：流速较小时，流体质点不相互混杂，流体作有序的成层状流动（称层流）。当流速大于某一临界流速υ'c

（上临界流速），流动呈现不规则紊动，流层间质点相互掺混，成为随机流动（称紊流）。（2）流速由大到小：开始时流动无序、随机。当流速小于某一临界流速υc

（下临界流速）。流体又恢复到有序的成层状流动。

层流：(laminarflow)亦称片流，是指流体质点不相互混掺，流体作有序的成层状流动。

紊流：(turbulentflow)亦称湍流，是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。

其中：（1）ab

段：表示υ<υc，流动为稳定的层流。

（2）ef

段：表示υ>υ'c，流动只能是紊流。

（3）bce

段：表示υc<υ<υ'c，流动可能是层流（bc段），也可能是紊流（ce段），受起始条件与实验时的扰动影响。

上述结果，绘成如图所示的曲线：

（1）abcef段表示流速由小到大；（2）feba段表示流速由大到小；二、层流、紊流的判别标准——临界雷诺数雷诺等人又进一步对不同直径的圆管和多种液体进行实验，发现临界流速与过流断面的特性几何尺寸(管径)d、流体的动力粘度μ和密度ρ有关：υc＝(d、μ、ρ)。即临界流速随过流断面的大小和流体种类而改变。为准确判别流态。将以上四个量组成一个无量纲数，称为雷诺数Re。ab

段：m1=1.0,hf=k1v,即沿程水头损失与流速的一次方成正比，属层流。feb段：m2=1.75~2.0,hf=k2v

1.75~2.0

，即沿程水头损失hf与流速的1.75~2.0次方成正比，是紊流。

数学表达式：

由此只需计算出流动的雷诺数Re:

就可以判别流态：Re＜Rec

层流

Re＞Rec

紊流

Re=Rec

临界流

实验表明：尽管当管径或流动介质不同时，临界流速不同，但对于任何管径和任何牛顿流体，判别流态的临界雷诺数却是不变的，大约都在2300。即：

相应有：

非圆管（明渠、非圆断面）流：以水力半径R代替d三、雷诺数的物理含义：前章曾阐明雷诺数是流动流体所受的惯性力和粘滞力的比值。

当流体中粘性作用起主导，遵循牛顿内摩擦定律。流体因受扰动而引起的紊动就会趋于衰减，流动保持层流。

当流体中流团的惯性作用起主导，流层间质点相互混掺，流体质点呈现不规则紊动，流动转变为紊流。例1水=1.7910-6m2/s,油=3010-6m2/s,若它们以V=0.5m/s的流速在直径为d=100mm的圆管中流动,试确定其流动形态。解:水的流动雷诺数

流动为紊流状态油的流动雷诺数所以流动为层流流态例2运动粘度=1.310-5m2/s的空气在宽B=1m,高H=1.5m的矩形截面通风管道中流动,求保持层流流态的最大流速。解:保持层流的最大流速即是临界流速第三节均匀流沿程水头与切应力的关系一、恒定均匀流沿程损失的基本方程

1.恒定均匀流的沿程水头损失

在均匀流中，有v1=v2

。上图中，对1-1断面与2-2断面列能量方程，得：

τ0

说明：（1）在均匀流情况下，两过流断面间的沿程水头损失等于两过流断面间的测压管水头的差值，即液体用于克服阻力所消耗的能量全部由势能提供。

（2）总水头线坡度（水力坡度）J沿程不变，总水头线是一倾斜的直线。（3）前面介绍过，流体的粘性造成流体内部的流层间存在“内摩擦阻力”，是它造成了hf

。

那么，hf与τ之间是什么关系呢？

2.均匀流动方程式

取断面1及2间的流体为控制体，受力分析：化简：由：各项两边同除γA，并将

左移故：所以：

即水力坡度。受力分析图τ0G

上式称均匀流基本方程式。给出了均匀流沿程水头与切应力的关系。适用于恒定的均匀层流或均匀紊流。

如图取一半径r，轴线与管轴重合的流束。同样可得流束均匀流动的方程式：将：代入τ与τ0

的公式，两式相比：二、圆管过流断面上的应力分布：rτ0物理意义：圆管均匀流的过流断面上，切应力呈直线分布，管壁处切应力为最大值τ0，管轴处切应力为零。得：即：称阻力速度（摩阻速度）。定义：得：三、阻力速度：若将化成代入：化简：

层流常见于很细的管道流动，或低速、高粘性流体的管道流动。比如，原油输送管道中的流动。第四节圆管中的层流运动由：一、流动特征：层流：即流体质点不相互混杂，流体作有序的成层状流动。流层间切应力服从牛顿内摩擦定律：

因此对于圆管而言，管壁上流速为零，管轴线上流速最大。二、流速分布：比较：分离变量：积分：由

r=r0时，u=0，得

上式即过流断面上的流速分布解析式，系抛物线方程。

当r=0时，得管轴上的最大流速：流量：平均流速：比较umax与的公式：

即圆管层流的平均流速是最大流速的一半，可见过流断面上流速分布很不均匀。动能修正系数动量修正系数三、沿程水头损失hf计算：以代入即：物理意义：圆管层流中，沿程水头损失系数λ只取决于雷诺数

λ=λ(Re)。物理意义：圆管层流中，沿程水头损失与断面平均流速一次方成正比。写成达西公式形式：例3油管d=100mm,L=16km,油在管中匀速流动,=915kg/m3,=1.8610-4m2/s,求每小时通过50t油所需要的功率Nu。解:第五节紊流运动1、紊流的特征：紊流运动的基本特征是在运动过程中流体质点具有不断的互相混掺的现象。由于质点的互相混掺，使流区内各点的流速、压强等运动要素发生一种随时间无规则的变化，这样的现象称为紊流脉动。

由于脉动，所以运动要素的变化是一个随机过程。目前常采用的方法是时均化的方法，即把紊流运动看作由两个流动叠加而成，一个是时间平均流动，一个是脉动流动。2、时均化：一、紊流的特征与时均化：压强p的随机变化亦如此表示。说明：前面几章有关恒定流的基本方程，如连续性方程、伯努利方程等，所用的流速、压强等均是指时均值。注意：

时间平均流速：流体质点的瞬时速度始终围绕着某一平均值脉动，这一平均值就称作时间平均流速

即：瞬时量=时均量+脉动量二、紊流的切应力

紊流中，一方面存在着由粘滞性引起的切应力，另一方面还存在着由紊流脉动而产生的附加切应力。紊流切应力应为两者之和。即1、紊流的切应力式中：为脉动流速乘积的时均值。式前加负号以将τ2表示为正值粘性切应力根据牛顿内摩擦定理确定。至于紊流的附加切应力，又称为雷诺应力紊流切应力：在雷诺数较小，紊流脉动较弱时，占主导地位，即黏性起主要作用。当雷诺数很大，脉动充分发展时，此时，《即惯性起主要作用，占主导地位。2、半经验理论—普朗特混合长度理论

如何计算雷诺应力，1925年，普朗特借用气体分子运动中自由行程的概念提出混合长度理论：（1）设想紊流中流体质点由原来位置y1，横向脉动一段距离到达y2。普朗特假定该质点在横向运动过程中不与其它质点发生碰撞，动量保持不变。直到抵达新的位置，才在与周围的流体质点混合时，失去它原来的特性。这个横向距离叫做混合长度。

这两个流层的时均流速差为：（2）脉动流速u'x

，与两流层的时均流速差成正比：~u'y与u'x成正比，即：~~将以上关系代入雷诺应力的公式中，并简化：不受粘性影响，只与质点到壁面的距离有关。（3）混合长度3、紊流流速分布的一般公式—对数律公式：分离变量：

充分发展的紊流中，切应力只考虑雷诺应力τ2，并假设壁面附近的切应力保持不变，略去时均：上式可用于除粘性底层外的整个过流断面。三、粘性底层：

紊流中紧贴固体边界附近，有一层极薄的流层。该流层由于受边壁的限制，消除了流体质点的混掺，切应力可用粘性切应力表示，属于层流运动。这一流层称粘性底层。粘性底层内，壁面切应力：上式表明粘性底层中流速按线性分布。在粘性底层外有一极薄的过渡层，过渡层外是紊流区，常称为紊流核心区。

粘性底层的厚度δ'

是很小的，通常不到1mm。有关计算得：上式表明：粘性底层的厚度δ'随着Re的增加而减少。

固体边界总是粗糙不平的，粗糙面凸出的高度称绝对粗糙度。用ks表示；ks/d称为相对粗糙度。1、水力光滑面（管）：

当Re较小，δ'

＞nks，即粗糙面凸出的高度完全淹没在粘性底层中，这时粗糙度对紊流不起作用，边壁对水流的阻力，主要是粘性底层的粘滞阻力。这种粗糙面上的水流就象在光滑的壁面上流动，称水力光滑面，对应的管子称为水力光滑管。四、圆管壁面水力特性—水力光滑与水力粗糙：2、水力粗糙面（管）

当Re较大，δ‘

＜nks，即粘性底层厚度δ’足够小，此时流体绕过凸出的高度将形成小旋涡，边壁的粗糙度对紊流起作用。边壁对水流的阻力，主要是由这些小旋涡组成，而粘性底层此时已经被破坏了。这种粗糙面称水力粗糙面，对应的管子称为水力粗糙管。3、水力过渡粗糙面（管）

当介于两者之间时，δ‘≈ks，粗糙度尚未起决定作用，紊流阻力受粘性和紊动小旋涡同时作用，称这种粗糙面为过渡粗糙面。例4圆管紊流速度分布为试证明:混合长度表达式为证明:由于故导得第六节紊流的沿程水头损失沿程水头损失计算紊流状态下，λ如何确定？层流状态下：以半经验理论，再结合实验结果，整理的半经验公式直接由实验结果，综合得出的经验公式一、尼古拉兹实验：1、沿程摩阻系数λ的影响因素

由圆管壁面水力特性分析知道沿程阻力除与流动状况（Re数表示）有关外，还受壁面的粗糙度ks的影响。

尼古拉兹通过筛选的均匀砂粒贴于壁面，做成人工粗糙度。这里以ks/d为相对粗糙度。2、沿程摩阻系数λ的测定与阻力分区：尼古拉兹利用类似雷诺实验的装置，研究并绘制出曲线图。根据入变化的特征，图中曲线可分为五个区域：lg(100)r0/ks61302521201014504lg(Re)0.40.30.60.50.80.71.00.21.10.92.83.23.03.63.44.03.84.44.24.84.65.25.05.65.46.05.8IIIIIIVIVabcdef1、层流区(ab线)。当Re＜2300时，所有的实验点都在ab直线上。它表明λ值仅与Re有关，而与ks/d无关。3、紊流光滑区(cd线)：当Re＞4000后，不同ks/d的实验点，起初都集中在cd线附近，表明λ仅与Re有关，而与ks/d全无关系。4、紊流过渡区：即为cd和ef线所包围的区域，该区的实验点已脱离光滑区cd线，不同ks/d实验点各自独立2、层流与紊流相互转变的过渡区(bc线)。当Re=2300~4000，所有的实验点都在bc线附近，λ值仅与Re有关。该区实用意义不大。成一条波状曲线。它表明，λ值既与Re有关,又与ks/d有关。5、紊流粗糙区：即ef线以右的区域。该区的实验点随ks/d的不同，分别落在相应的平行于横轴的直线上。它表明λ值与Re无关，仅与ks/d

有关，由于该区内的能量损失与流速的平方成正比，所以又称阻力平方区。

此区内的流动，即使Re不同只要几何相似，边界性质相同，也能自动保证模型流与原型流的相似，因而又称为自模区。二、流速分布：

1、紊流光滑区：粘性底层：（y＜δ‘）紊流核心区，按对数律公式：粘性底层与核心区交界处流速取β=0.4，c1=5.5；换常用对数2、紊流粗糙区：

边壁对水流的阻力，主要是由小旋涡组成，而粘性底层此时已经被破坏了。取β=0.4，c1=8.48；换常用对数粗糙凸起面与核心区交界处流速尼古拉兹根据实验又提出了指数分布式：三、λ的半经验公式：

1、紊流光滑区：得到尼古拉兹光滑管：断面平均流速：代入光滑区流速公式积分：

2、紊流粗糙区：同理可得到粗糙管：四、阻力区的判别：

由前节知道，不同的阻力区由δ'与ks的关系决定在y=δ'同时满足粘性底层速度分布以及，得到：左右同除ks

，得：光滑区：0＜Re*

≤5，δ'≥2.3ks，过渡区：5＜Re*

≤70，0.17ks≤δ'＜2.3ks

粗糙区：Re*

＞70，ks＞6δ'，五、工业管道和柯列勃洛克公式

为了将人工粗糙管与工业管道的粗糙度联系起来，使尼古拉兹实验的结果用于工业管道。提出当量粗糙度概念:

通过将工业管道实验结果与人工砂粒粗糙管的结果比较,把和工业管道的管径相同,紊流粗糙区值相等的人工粗糙管的砂粒粗糙度ks定义为工业管道的当量粗糙度。

进一步，柯列勃洛克1939年给出了工业管道紊流过渡区的值：

该式实质是尼古拉兹的两区公式的结合，故适用于全部的三个紊流阻力区。该式应用广泛，与实验符合的很好。

1944年穆迪绘出了工业管道的λ曲线图，称穆迪图。由该图可直接查出工业管道的λ值。

六、λ的经验公式：1、布拉修斯公式：2、希弗林松公式：特点：Re＜105，有极高精度。3、谢才公式：将达西公式变换：式中：C—谢才系数；或使用曼宁经验式计算式中：n是粗糙系数。（表6-3）特点：输水管及较小渠道的计算与实际相符，至今广泛应用。但仅限粗糙区。七、非圆管的沿程损失：

工业上把非圆管折算成圆管，前述用水力半径R综合反映断面大小和几何形状对流动影响。圆管：d=4R圆

当量直径：我们把R相等的圆管直径定义为非圆管的当量直径，记de。d=4R圆=4R=de举例：一边长a,b的矩形管，其de为：达西公式计算非圆管：注意适用条件：（1）长缝形、狭环行等同圆管差异很大的非圆管误差较大。（2）层流中不适用de计算。例5新铸铁管d=100mm,当量粗糙度ks=0.35mm,在长为L=100m输水管路上,hf=2m,温度T=200C,求:管道壁面的类型。解:由公式有故管壁属于粗糙过渡壁面0.17ks≤δ'＜2.3ks例6铁管d=200mm,当量粗糙度ks=0.2mm,液体的运动粘度=1.510-6m2/s,当Q=1L/s时，求:管道沿程损失系数=?解:当Q=1L/s=10-3m3/s时先假设流动属于水力光滑区即流动属于紊流光滑管区,利用以上公式是合理的例7镀锌钢管输水,长L=100m,d=0.25m,水温200C,水流量为Q=0.05m3/s,求沿程水头损失hf解:查表得水的运动粘度查表6-2,ks=0.15mm,ks/d=0.6×10-3,查莫迪图,=0.0176,故H2O第七节局部水头损失

一、局部水头损失

hj

的一般分析1、产生的原因：

流体经过局部障碍有许多情况，在实际工程中常遇的有断面突然扩大或缩小管(或渠道)的弯曲及在其内设置障碍(如闸阀)等。流体经过这些局部地区由于惯性力处于支配的地位，流动不能象边壁那样突然转弯。因此造成在边壁突变的地方出现：（1）主流与边壁脱离，致使在它们之间形成旋涡区，这是引起这些局部损失的主要原因。所以，局部损失应视为由上述两部分能量损失所组成。（2）旋涡区产生的涡体不断被主流带向下游，将加剧下游一定范围内的能量损失。2、局部水头损失系数的影响因素计算：ζ只取决于局部阻碍的形状与Re无关。

二、几种典型的局部水头损失系数：1、突扩圆管d11122LV2V1d2z2z100动量方程能量方程两边再同除以代回能量方程：利用z1-z2=Lcos，代入上式有进一步变换成一般式：流入水池=1.02、突缩圆管局部阻力系数表总水头所绘曲线代表水头损失沿流程的变化状况。

测压管水头所绘曲线代表压强沿流程的变化状况，。

水力坡度J：单位长度流程的平均水头损失,即

测压管水头线坡度JP：单位长流程上测压管水头线降落：三、水头线的绘制：首先我们回忆一下水头的有关定义。

（1）—般先绘H线，然后绘Hp水头线。H线恒下降，Hp可升、可降。（2）hj

在各突变处下降量表示为铅垂下降的直线。（3）注意管径不同时水力坡度J的不同。（4）总水头线和测压管水头线之间的距离为相应流段的流速水头。注意：例题8：例题9：圆管流体流动流态总结：

λ与ks/d无关λ与ks/d无关Re应力与粘滞力

边界层理论是普朗特在1904年开始创立的，它的发展主要是与研究流体绕经物体时的阻力问题有关。它为解决边界复杂的实际流体运动的问题开辟了途径，对流体力学的发展有着极其重要的意义。第八节

边界层概念与绕流阻力

在实际流体流经固体时，不管流动的雷诺数多大，固体边界上的流速必为零，称无滑移条件。由于这个条件在固体边界的外法线方向上，流体速度从零迅速增大。这样，在边界附近的流区存在着相当大的流速梯度，在这个流区内粘性的作用就不能忽略。边界附近的这个流区就称为边界层或称附面层。其外，粘性可以忽略按理想流体运动处理。一、边界层的概念：（1）平板边界层的描述：根据无滑移条件和流体的粘性作用，与平板接触的流体质点的流速都要降为零。而沿壁面的法线方向流速很快增大到U0。由此可见，该流场存在（2）边界层的厚度自固体边界表面，沿其外法线到纵向流速ux达到主流速U0的99%处，这段距离称为边界层厚度。边界层的厚度顺流增大，即δ是x的函数。1、平板边界层：U0U0U0两个区，贴近壁面很薄的一层内，dux/dy很大，粘性不可忽略，即边界层。其外，dux/dy≈0，相当于理想流体运动。

当雷诺数达到一定数值时，边界层内的流动经过一过渡段后转变为紊流，成为紊流边界层。由层流边界层转变为紊流边界层的点称为转捩点，其雷诺数为临界雷诺数Reδc

。对于光滑平板来说，Reδc范围为2700~8500；（3）边界层内的两种流态——层流和紊流边界层内的流动也有层流和紊流。如图所示，在边界层的前部，由于厚度δ较小，流速梯度很大，粘滞切应力也很大，这时边界层内的流动属层流，称层流边界层。边界层内流动的雷诺数Re可表示为：2、管道进口段边界层：

不仅绕流存在边界层，内流也存在边界层。

假设速度以均匀速度流入，则在入口段的始端将保持均匀的速度分布。由于管壁的作用，靠近管壁的流体将受阻滞而形成边界层，其厚度δ将随离入口的距离的增加而增加。当边界层发展到管轴，流体的运动都处于边界层内，自此以后流动将保持这个状态不变，才成为均匀流动。以上所述边界层的