高中数学北师大版2第三章推理与证明归纳与类比 学业分层测评7

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．【答案】D2．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz)．故选D.【答案】D3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知：四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S­ABC的体积为V，则R＝()\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体S­ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).【答案】C4．在等差数列{an}中，若an>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，bA．b5b7>b4b8 B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8 D．b7＋b8<b4＋b5【解析】b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，∴b5＋b7<b4＋b8.【答案】C5．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则eq\f(AG,GD)＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A­BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则eq\f(AO,OM)＝()A．1 B．2C．3 D．4【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)⇒r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.【答案】C二、填空题6．(2023·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.【导学号：67720234】【解析】因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】2πr47．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，将此结论类比到空间有______________________________．【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥A­BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A­BCD的外接球．【答案】在三棱锥A­BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A­BCD的外接球半径R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)8．等差数列有如下性质：若数列{an}是等差数列，则当bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．【解析】类比等差数列与等比数列的性质，可猜测dn＝eq\r(n,c1c2…cn)时，{dn}为等比数列．【答案】eq\r(n,c1c2…cn)三、解答题9．如图3­1­13①，在平面内有面积关系eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，写出图3­1­13②中类似的体积关系，并证明你的结论．①②图3­1­13【解】类比eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，有eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).证明：如图，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.则eq\f(h′,h)＝eq\f(PC′,PC)，故eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(\f(1,3)S△PA′B′·h′,\f(1,3)S△PAB·h)＝eq\f(PA′·PB′·h′,PA·PB·h)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).10．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？【解】在等差数列{an}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．[能力提升]1．已知正三角形内切圆的半径是其高的eq\f(1,3)，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A．正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,2)B．正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,3)C．正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,4)D．正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,5)【解析】原问题的解法为等面积法，即S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar⇒r＝eq\f(1,3)h，类比问题的解法应为等体积法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr⇒r＝eq\f(1,4)h，即正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,4).【答案】C2．(2023·广东一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A．2017×22015 B．2017×22014C．2016×22015 D．2016×22014【解析】由题意知数表的每一行都是等差数列，且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，…，第2015行数的公差为22014，第1行的第一个数为2×2－1，第2行的第一个数为3×20，第3行的第一个数为4×21，…第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，第2016行只有一个数M，则M＝(1＋2016)×22014＝2017×22014，故选B.【答案】B3．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18＝__________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为__________．【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．由上述定义，得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n为奇数，,3，n为偶数，))故a18＝3.从而Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n为奇数，,\f(5,2)n，n为偶数.))【答案】3Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n为奇数，,\f(5,2)n，n为偶数))4．(1)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))为定值b2－a2；(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))为定值，并写出这个定值(不要求写出解题过程)．【解】(1)证明如下：设点P(x0，y0)(x0≠±a)，依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，所以直线PA的方程为y＝eq\f(y0,x0＋a)(x＋a)．令x＝0，得yM＝eq\f(ay0,x0＋a)，同理得yN＝－eq\f(ay0,x0－a)，所以yMyN＝eq\f(a2y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0)).又因为点P(x0，y0)在椭圆上，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2