高中数学人教A版1本册总复习总复习阶段质量评估3

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若拋物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为10，则P点的坐标是()A．(9,6) B．(9，±6)C．(6,9) D．(6，±9)解析：设P(x0，y0)，则x0＋1＝10，∴x0＝9，yeq\o\al(2,0)＝36，∴y0＝±6，故P点坐标为(9，±6)．答案：B2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆解析：sinθ可以等于1，这时曲线表示圆，sinθ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sinθ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C3．双曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－12,0)C．(－3,0) D．(－60，－12)解析：∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k.∵e∈(1,2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(4－k,4)∈(1,4)，k∈(－12,0)．答案：B4．以椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是()\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1 \f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1 D．以上都不对解析：当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4eq\r(3)，eq\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3eq\r(3)，eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1.选C.答案：C5．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且eq\f(1,2)|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．线段解析：依题意知，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，作图可知点P的轨迹为线段答案：D6．设F1和F2为双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()A．1 \f(\r(5),2)C．2 \r(5)解析：由方程知a＝2，b＝1，c＝eq\r(5)，由定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝4又∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝20由①、②可得：|PF1|·|PF2|＝2，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×2＝1，故选A.答案：A7．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为eq\r(3)，则这个椭圆的方程为()\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1 \f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1 D．以上都不对解析：∵短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，∴2c＝a，又∵a－c＝eq\r(3)，可知c＝eq\r(3)，a＝2eq\r(3)，∴b＝eq\r(a2－c2)＝3.∴椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1.答案：C8．两个正数a、b的等差中项是eq\f(9,2)，一个等比中项是2eq\r(5)，且a＞b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为()\f(5,3) \f(\r(41),4)\f(5,4) \f(\r(41),5)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝9,ab＝20,a＞b))可得a＝5，b＝4，∴c2＝a2＋b2＝41，∴c＝eq\r(41)，e＝eq\f(\r(41),5).答案：D9．设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0解析：过F2作F2A⊥PF1于A，由题意知|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c，则|AF∴|PF1|＝4b，而|PF1|－|PF2|＝2a∴4b－2c＝2a，c＝2b－a，c2＝(2b－a)a2＋b2＝4b2－4ab＋a2，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x.故选C.答案：C10．(2023·浙江卷)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝eq\f(13,2) B．a2＝13C．b2＝eq\f(1,2) D．b2＝2解析：如图，设M，N为三等分点，N(x，y)，由已知c＝eq\r(5)，故a2－b2＝5，即b2＝a2－5，且双曲线的渐近线方程为y＝±2x，根据对称性，我们只需联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－5)＝1))即可，由以上方程组可得出eq\f(x2,a2)＋eq\f(4x2,a2－5)＝1，解得x2＝eq\f(a2a2－5,5a2－5)，又∵|ON|2＝x2＋y2＝5x2＝5eq\f(a2a2－5,5a2－5)＝eq\f(a2a2－5,a2－1)＝eq\f(a2,9)，∴a2＝eq\f(11,2)，b2＝a2－5＝eq\f(1,2).答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．(2023·北京朝阳一模)已知拋物线y2＝4x上一点M与该拋物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________________________________________________________________________.解析：拋物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据拋物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案：312．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为eq\f(\r(3),2)，则它的长半轴长为________________________________________________________________________．解析：当0＜m＜1时，eq\f(y2,\f(1,m))＋eq\f(x2,1)＝1，e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－m＝eq\f(3,4)，m＝eq\f(1,4)，a2＝eq\f(1,m)＝4，a＝2；当m＞1时，eq\f(x2,1)＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，a＝1.应填1或2.答案：1或213．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.解析：圆的标准方程是(x－3)2＋y2＝42，因此，圆心是(3,0)，半径r＝4，故与圆相切且垂直于x轴的两条切线x＝－1，x＝7.而y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－eq\f(p,2).依题意－eq\f(p,2)＝－1，得p＝2，－eq\f(p,2)＝7，p＝－14(不符合题意)，∴p＝2.答案：214．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点为F1、F2，O为坐标原点，点P是椭圆上的一点，点M为PF1的中点，|OF1|＝2|OM|，且OM⊥PF1，则该椭圆的离心率为________．解析：∵OM綊eq\f(1,2)F2P，又|OF1|＝2|OM|，∴|PF2|＝2|OM|＝c，∵PF2⊥PF1，∴(2a－c)2＋c2＝(2c)∴e2＋2e－2＝0，得e＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知直线l：y＝x＋m与椭圆：9x2＋16y2＝144.试探究当m变化时，直线l与椭圆的位置关系．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,9x2＋16y2＝144))消去y，得9x2＋16(x＋m)2＝144，整理得25x2＋32mx＋16m因为Δ＝(32m)2－4×25×(16m＝242(52－m2)．当Δ＝0，即m＝±5时，直线与椭圆相切；当Δ>0，即－5<m<5时，直线与椭圆相交；当Δ<0，即m<－5或x>5时，直线与椭圆相离．16．(12分)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|＝3，且椭圆离心率是方程2x2－5x＋2＝0的根，求椭圆方程．解析：∵右焦点为F(c,0)，把x＝c代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，得y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(c2,a2)))＝eq\f(b4,a2)，∴y＝±eq\f(b2,a).∴|MN|＝eq\f(2b2,a)＝3.①又2x2－5x＋2＝0⇒(2x－1)(x－2)＝0，∴x＝eq\f(1,2)或2，又e∈(0,1)，∴e＝eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).②又知a2＝b2＋c2，③由①②③联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，,b＝\r(3)，))∴椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.17．(12分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜顶点的(解析：取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．因灯口直径|AB|＝24，灯深|OP|＝10，所以点A的坐标是(10,12)．设抛物线的方程是y2＝2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122＝2p×10，∴p＝.抛物线的焦点F的坐标为,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.618．(14分)已知，椭圆C经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线的斜率AE与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解析：(1)由题意，知c＝1，可设椭圆方程为eq\f(x2,1＋b2)＋eq\f(y2,b2)＝1因为A在椭圆上，所以eq\f(1,1＋b2)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得b2＝3，b2＝－eq\f(3,4)(舍去)．所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明：设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋eq\f(3,2)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－k))2－12＝0.设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆上，所以xE＝eq\f(4\b\lc\