高中数学人教A版第四章圆和方程章末综合测评4

章末综合测评(四)圆与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是()A．2eq\r(43) B．2eq\r(21)C．9 \r(86)【解析】由空间直角坐标系中两点间距离公式得：|AB|＝eq\r(－3－22＋4＋12＋0－62)＝eq\r(86).【答案】D2．当圆x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0的面积最大时，圆心坐标是()A．(0，－1) B．(－1,0)C．(1，－1) D．(－1,1)【解析】圆的标准方程得：(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(k,2)))2＝1－eq\f(3k2,4)，当半径的平方1－eq\f(3k2,4)取最大值为1时，圆的面积最大．∴k＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】B3．圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是()A．相交 B．相离C．内含 D．内切【解析】把圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分别化为标准式为(x－2)2＋(y－3)2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝9，两圆心间的距离d＝eq\r(4－22＋3－32)＝2＝|r1－r2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】D4．(2023·葫芦岛高一检测)过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0【解析】依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－1,2－1)，即3x－y－5＝0，故选A.【答案】A5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切 B．相交C．相离 D．不确定【解析】由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，故直线与圆相交．【答案】B6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0【解析】圆心C(1,0)，kPC＝eq\f(0－－1,1－2)＝－1，则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D.【答案】D7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.【答案】A8．(2023·泰安高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()【导学号：09960151】A．36 B．18C．6eq\r(2) D．5eq\r(2)【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为3eq\r(2)，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为eq\f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq\r(2)＞3eq\r(2)，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6eq\r(2).【答案】C9．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A．4 B．2\f(8,5) \f(12,5)【解析】P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝eq\f(4－1,－2－2)＝－eq\f(3,4)，∴kl＝eq\f(4,3).∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为eq\f(|20|,\r(42＋－32))＝4.【答案】A10．一个几何体的三视图如图1所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是()图1A．(1,1,1) B．(1,1，eq\r(2))C．(1,1，eq\r(3)) D．(2,2，eq\r(3))【解析】由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为eq\r(3)，则第五个顶点的坐标为(1,1，eq\r(3))．故选C.【答案】C11．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2【解析】设点(－2,2)关于直线x－y－1＝0的对称点为Q(m，n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m＋2)×1＝－1，,\f(m－2,2)－\f(n＋2,2)－1＝0，))解得m＝3，n＝－3，所以圆C2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2，故选D.【答案】D12．(2023·台州高二检测)已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是()图2A．[2eq\r(7)，2eq\r(15)] B．[2eq\r(7)，8]C．[2eq\r(3)，2eq\r(15)] D．[2eq\r(3)，8]【解析】S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·2＝|AB|，设C到AB的距离为d，则|AB|＝2eq\r(42－d2)，又d∈[1,3]，7≤42－d2≤15，所以S△OAB＝|AB|∈[2eq\r(7)，2eq\r(15)]．【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知A(1,2,3)，B(5,6，－7)，则线段AB中点D的坐标为________．【解析】设D(x，y，z)，由中点坐标公式可得x＝eq\f(1＋5,2)＝3，y＝eq\f(2＋6,2)＝4，z＝eq\f(3－7,2)＝－2，所以D(3,4，－2)．【答案】(3,4，－2)14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．【解析】原点O到直线的距离d＝eq\f(15,\r(32＋42))＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.【答案】x2＋y2＝2515．(2023·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．【解析】∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－eq\f(1,2).由点斜式可得切线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.【答案】x＋2y－5＝016．若x，y∈R，且x＝eq\r(1－y2)，则eq\f(y＋2,x＋1)的取值范围是________．【解析】x＝eq\r(1－y2)⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设P(x，y)是半圆上的点，则eq\f(y＋2,x＋1)表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).又kBQ＝3，∴所求范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3)).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3))三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．【解】法一：∵圆心在y轴上，设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－12＋4－b2＝r2，,32＋2－b2＝r2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,r2＝10.))所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.法二：线段AB的中点为(1,3)，kAB＝eq\f(2－4,3－－1)＝－eq\f(1,2)，∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＝0，))得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为eq\r(0＋12＋1－42)＝eq\r(10)，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.18．(本小题满分12分)如图3所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．图3【解】由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，设D(0，y，z)，在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，∴|BD|＝2，|CD|＝2eq\r(3)，∴z＝eq\r(3)，2－y＝3，∴y＝－1，∴D(0，－1，eq\r(3))．又∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，∴|AD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)))2)＝eq\r(6).19．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈(1)证明：不论m为何值时，直线和圆恒相交于两点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．【解】(1)证明：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴直线l恒过定点A(3,1)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，∴(3,1)在圆C的内部，故直线l与圆C恒有两个公共点．(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，有l⊥AC，由kAC＝－eq\f(1,2)，得l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.20．(本小题满分12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝eq\f(1,2)|BC|＝|MB|.∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以eq\r(7)为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2,3)，C(2,1)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长．【解】(1)AC的中点E(0,2)即为圆心，半径r＝eq\f(1,2)|AC|＝eq\f(1,2)eq\r(42＋－22)＝eq\r(5)，所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.(2)直线BC的斜率k＝eq\f(1－－2,2－－2)＝eq\f(3,4)，其方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－2)，即3x－4y－2＝0.点E到直线BC的距离为d＝eq\f(|－8－2|,5)＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2eq\r(5－22)＝2.22.(本小题满分12分)如图5，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝