高中数学北师大版2第三章推理与证明 第3章3

第三章§3(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题1．若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C．a2＋b2≥eq\f(1,2)(a＋b)2 D．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<eq\f(1,a－b)(a≠b)解析：a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq\r(ab).a2＋b2－eq\f(1,2)(a＋b)2＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2－ab＝eq\f(1,2)(a－b)2≥0即a2＋b2≥eq\f(1,2)(a＋b)2.故选D.答案：D2．对于0＜a＜1，给出四个不等式：①loga(1＋a)＜logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))；②loga(1＋a)＞logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))；③a1＋a＜a1＋eq\s\up4(\f(1,a))；④a1＋a＞a1＋eq\s\up4(\f(1,a)).其中成立的是()A．①与③ B．①与④C．②与③ D．②与④解析：∵0＜a＜1，∴0＜a＜eq\f(1,a)∴1＜1＋a＜1＋eq\f(1,a)，又∵0＜a＜1，∴loga(1＋a)＞logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，且a1＋a＞a1＋eq\s\up4(\f(1,a)).答案：D3．p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()A．p≥q B．p≤qC．p>q D．不确定解析：q＝eq\r(ab＋\f(mad,n)＋\f(nbc,m)＋cd)≥eq\r(ab＋2\r(abcd)＋cd)＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)＝p.答案：B4．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则该三角形是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：由sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．答案：D二、填空题5．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵a2－c2＝2－(8－4eq\r(3))＝4eq\r(3)－6＝eq\r(48)－eq\r(36)＞0，∴a＞c.∵eq\f(c,b)＝eq\f(\r(6)－\r(2),\r(7)－\r(3))＝eq\f(\r(7)＋\r(3),\r(6)＋\r(2))＞1，∴c＞b.答案：a＞c＞b6．已知a、b、u∈R*，且eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是________．解析：a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))×(a＋b)＝10＋eq\f(b,a)＋eq\f(9a,b)≥10＋2eq\r(\f(b,a)×\f(9a,b))＝16，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(9a,b)即3a＝b时取等号，若a＋b≥u恒成立，则u≤16.答案：(－∞，16]三、解答题7．已知a，b>0，且a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.证明：证法一：∵a，b>0，且a＋b＝1，∴a＋b≥2eq\r(ab).∴eq\r(ab)≤eq\f(1,2).∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4.证法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2eq\r(ab)>\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))>0.∴(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4.又∵a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.证法三：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．8．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)．求证：A＝2B.证明：∵a2＝b(b＋c)，而cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－b2＋bc,2bc)＝eq\f(c－b,2b)，cos2B＝2cos2B－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))2－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2a)))2－1＝eq\f(b＋c2－2b2－2bc,2bb＋c)＝eq\f(c－b,2b)，∴cosA＝cos2B.又A、B是三角形的内角，∴A＝2B.9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝eq\f(1,xy)，logba＝eq