高中数学人教A版本册总复习总复习 一等奖2

模块综合检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是()A．平行或不共面B．相交C．不共面D．平行答案：A解析：满足条件的情形如下：2．若k<0，b<0，则直线y＝kx＋b不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：∵k<0，∴必过第二、四象限．∵b<0，∴必过第三象限，所以直线不通过第一象限．3．下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，正确命题是()A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l⊥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α答案：B解析：本小题考查空间想象能力，由线面平行垂直的相互转化可知选项B正确．4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱柱)的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：设正四棱柱的底面边长是a，球半径是R，则有4πR2＝6π，4R2＝\r(2a2＋22)＝2R,2a2＝4R2－4＝2.因此该正四棱柱的体积是2a2＝2，选B.5．一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为()A．1B．2C．4D．8答案：B解析：V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋2)×2×2＝2.6．两圆C1：x2＋y2＝r2与C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)相切，则r的值为()\r(10)－1\f(\r(10),2)\r(10)\r(10)－1或eq\r(10)＋1答案：B解析：∵两圆相切且半径相等，∴|OO1|＝2r.∴r＝eq\f(\r(10),2).7．直线2ax＋y－2＝0与直线x－(a＋1)y＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为()A．(－eq\f(2,5)，－eq\f(6,5))B．(eq\f(2,5)，－eq\f(6,5))C．(eq\f(2,5)，eq\f(6,5))D．(－eq\f(2,5)，eq\f(6,5))答案：C解析：由题意知：a＝1，∴2x＋y－2＝0，x－2y＋2＝0，解得x＝eq\f(2,5)，y＝eq\f(6,5)，故选C.8．与圆C：x2＋(y＋5)2＝3相切，且其纵截距和横截距相等的直线共有()A．2条B．3条C．4条D．6条答案：C解析：因为原点在圆外，过原点的两条切线在两轴上的截距相等，若切线不过原点，设切线方程x＋y＝a(a≠0)，圆心(0，－5)，r＝eq\r(3)，故有eq\f(|0－5－a|,\r(2))，∴a＝－5±eq\r(6)，于是在两轴上截距相等，斜率为－1的直线又有2条，故共有4条．9．一束光线从点A(4,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝2上的最短路程是()\r(13)B．2eq\r(13)\r(13)＋eq\r(2)\r(13)－eq\r(2)答案：D解析：A(4,1)关于x轴的对称点为B(4，－1)，圆心C(2,2)，则A点经x轴反射到圆上的最短路程为|BC|－r＝eq\r(13)－eq\r(2).10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)，BC＝4，AA1＝eq\r(6)，则AC1和底面ABCD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．75°答案：A解析：如图所示，连结AC，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，所以∠C1AC就是AC1与底面ABCD因为AB＝eq\r(2)，BC＝4，AA1＝eq\r(6)，所以CC1＝AA1＝eq\r(6)，AC1＝2eq\r(6).所以在Rt△ACC1中，sin∠C1AC＝eq\f(CC1,AC1)＝eq\f(\r(6),2\r(6))＝eq\f(1,2).所以∠C1AC＝30°.11．如图所示，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，M是PC上的任意一点，则下列选项能使得平面MBD⊥平面PCD的是()A．M为PC的中点B．DM⊥BCC．DM⊥PCD．DM⊥PB答案：C解析：∵底面ABCD为菱形，则BD⊥AC，PA⊥底面ABCD，则PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，若是DM⊥PC，则有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD，故C成立．12．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B—AC—D，则四面体ABCD的外接球的体积为()\f(125π,12)\f(125π,9)\f(125π,6)\f(125π,3)答案：C解析：取AC的中点O.∵O到各顶点距离相等，∴O是球心，∴2R＝5，R＝eq\f(5,2).∴V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125π,6)，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．直线x＋y＋1＝0截圆x2＋y2－4x＋2y－5＝0所得的弦长为________．答案：4eq\r(2)解析：由题意知：圆的半径为eq\r(10)，圆心(2，－1)到直线x＋y＋1＝0为eq\r(2)，又半弦长、圆半径、弦心距构成直角三角形，故所求弦长为2eq\r(10－2)＝4eq\r(2).14．若直线(m＋1)x－y－(m＋5)＝0与直线2x－my－6＝0平行，则m＝________.答案：－2解析：由题意知：m＋1＝eq\f(2,m)，解得：m＝1或－2.当m＝1时，两直线方程均为2x－y－6＝0，两直线重合；当m＝－2时，直线为x＋y＋3＝0，x＋y－3＝0，两直线平行．15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________答案：90°解析：作BC的中点N，连接AN，则AN⊥面BCC1B1，连结B1N，则B1N是AB1在面BCC1B1的射影．所以B1N⊥BM，AB1⊥BM，即异面直线AB1与BM所成角大小为90°.16．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m，n⊂α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.其中，正确的命题是__________．(写出所有正确命题的序号)答案：③④解析：①中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则可能m∥n或m、n异面，故①错误；②中，若m、n⊂α，m∥β，则只有当m与n不平行且n∥β时，α∥β，故②错误；③中，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,m⊥α))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(n⊥α,n⊥β))⇒α∥β，故③正确．④中，由m∥α，可过m作一平面与α相交于m1，于是m∥m1，同理，由m∥β，可知在β内存在直线m2，使m∥m2，这样就有m1∥m2，而m1⊂α，m2⊂β，所以可得m1∥β，同理在α内有直线n1∥β，根据m、n异面知m1、n1相交，所以α∥β，故④正确．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)与直线l关于y轴对称．解：(1)∵l∥l′，∴l′的斜率为－eq\f(3,4)，∴直线l′的方程为：y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)l与y轴交于点(0,3)，该点也在直线l′上，在直线l上取一点A(4,0)，则点A关于y轴的对称点A′(－4,0)在直线l′上，所以直线l′经过(0,3)和(－4,0)，故直线l′的方程为3x－4y＋12＝0.18．(12分)已知直线l经过两点(2,1)，(6,3)．(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点(2,0)，求圆C的方程．解：(1)由已知，直线l的斜率k＝eq\f(3－1,6－2)＝eq\f(1,2)所以，直线l的方程为x－2y＝0.(2)因为圆C的圆心在直线l上，可设圆心坐标为(2a，a因为圆C与x轴相切于(2,0)点，∵圆心在直线x＝2上，∴a＝1，∴圆心坐标为(2,1)，半径为1，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.19．(12分)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，俯视图为一个矩形与它的一条对角线．(1)用斜二测画法画出这个几何体的直观图；(2)求该几何体的表面积；(3)在几何体直观图中，在线段PB上是否存在点M，使得PB⊥平面MAC？若存在，求线段PM的长；若不存在，请说明理由．解：(1)直观图如图所示．(2)由三视图得，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，而底面ABCD为正方形，BC⊥DC，所以BC⊥平面PCD，从而BC⊥PC，同理，AB⊥AP，因此，四个侧面都是直角三角形，即S△PAD＝S△PCD＝eq\f(1,2)×4×4＝8，S△PAB＝S△PCB＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2).所以，几何体的表面积为S＝16＋16eq\r(2)＋16＝32＋16eq\r(2).(3)设DB与AC相交于点E，在△PDB中，作EM⊥PB于M，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，由于ABCD为正方形，则AC⊥DB，又DB∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD∴AC⊥PB，又∵AC∩EM＝E，则PB⊥平面MAC.在Rt△PDB中，PD＝4，DB＝4eq\r(2)，EB＝2eq\r(2)，PB＝4eq\r(3)，BM＝EB×cos∠DBP＝EB×eq\f(DB,PB)＝eq\f(4,3)eq\r(3)，则PM＝PB－BM＝4eq\r(3)－eq\f(4,3)eq\r(3)＝eq\f(8,3)eq\r(3)，故线段PB上存在点M，使得PB⊥平面MAC，且PM＝eq\f(8,3)eq\r(3).20．(12分)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝eq\r(2)，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1EF与直线AA1的交点．求证：(1)EF∥A1D1；(2)BA1⊥平面B1C1EF证明：(1)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA又因为平面B1C1EF∩平面A1D1EF＝EF所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.(2)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1，又因为B1C1⊥B所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝eq\f(\r(2),2)，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F，所以BA1⊥平面B1C121．(12分)已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求eq\f(y,x)的最值；(2)求y－x的最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，由圆心(2,0)到y＝kx距离为半径时，直线与圆相切．∴eq\f(|2k－0|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，∴k＝±eq\r(3).∴kmax＝eq\r(3)，kmin＝－eq\r(3).(2)设y－x＝b，则y＝x＋b.∴eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3).∴b＝－2±eq\r(6).∴(y－x)min＝－2－eq\r(6).(3)x2＋y2是圆上点与原点距离的平方．∴(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3).(x2＋y2)min＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).22．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB<CD，SD⊥平面ABCD，AB＝AD＝a，SD＝eq\r(2)a(1)求证：平面SAB⊥平面SAD；(2)设SB的中点为M，当eq\f(CD,AB)为何值时，能使DM⊥MC？请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD.又SD⊥平面