高中数学北师大版第二章解三角形单元测试 学业分层测评1

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c为()A．1∶2∶3 B．1∶eq\r(3)∶1C．1∶eq\r(3)∶2 D．eq\f(1,2)∶1∶eq\r(3)【解析】由已知得，A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝eq\f(1,2)∶eq\f(\r(3),2)∶1＝1∶eq\r(3)∶2.【答案】C2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq\r(2)，则c等于()A．1 B．2\r(2) D．eq\r(3)【解析】C＝180°－A－B＝30°，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2\r(2)×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝2.【答案】B3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是()A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．a＝60，c＝48，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝80°D．a＝14，b＝16，A＝45°【解析】A中只有一解，B中只有一解，C中由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinB＝eq\f(5,7)·sin80°.又b＜a，A＝80°，∴B唯一，从而只有一解．D中由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(8\r(2),14)＞eq\f(\r(2),2)，又a＜b，∴B有两种情形．【答案】D4．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，则△ABC是()A．等边三角形B．有一个内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角是30°的等腰三角形【解析】由正弦定理得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC，所以eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)可化为1＝eq\f(1,tanB)＝eq\f(1,tanC)，所以tanB＝tanC＝1，即B＝C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．【答案】C5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－1 D． 1【解析】∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sinBsinB，即sinAcosA－sin2B＝0，∴sinAcosA－(1－cos2B)＝0，∴sinAcosA＋cos2B＝1.【答案】D二、填空题6．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a＝4bsinA，则cosB＝__________.【解析】由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，所以sinA＝4sinB·sinA，即sinB＝eq\f(1,4)，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(15),4).【答案】eq\f(\r(15),4)7．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，则a＝__________.【解析】在△ABC中，由正弦定理得eq\f(1,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))，解得sinB＝eq\f(1,2)，因为C＝eq\f(2,3)π，故角B为锐角，所以B＝eq\f(π,6)，则A＝eq\f(π,6)，所以a＝1.【答案】18．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinC＝________.【解析】∵A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，∴B＝60°.由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(1×sin60°,\r(3))＝eq\f(1,2).又a＜b，∴A＝30°，∴C＝180°－(30°＋60°)＝90°，即sinC＝1.【答案】1三、解答题9．已知△ABC中，tanA＝eq\f(2,5)，tanB＝eq\f(3,7)，且最长边的长为eq\r(2).求：(1)C的大小；(2)最短边的长．【解】(1)∵tanA＝eq\f(2,5)，tanB＝eq\f(3,7)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(2,5)＋\f(3,7),1－\f(2,5)×\f(3,7))＝1.又A＋B＋C＝180°，∴tanC＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－1，∴C＝135°.(2)由(1)知C为最大角，从而由已知得c＝eq\r(2)，∵tanB＞tanA＞0，∴b＞a，故三角形最短边为a.∵tanA＝eq\f(2,5)，∴sinA＝eq\f(2\r(29),29).又∵sinC＝eq\f(\r(2),2)，∴由正弦定理得最短边a＝eq\f(c·sinA,sinC)＝eq\f(4\r(29),29).10．在△ABC中，已知cos2B＋cos2C＝1＋cos2A，且sinA＝2sinBcosC，求证：b＝c且A＝90°.【证明】∵cos2B＋cos2C＝1＋cos2A，∴cos2B＋cos2C－2＝cos2A－1，∴sin2B＋sin2C＝sin2A，即b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形，且A＝90°.又sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，∴b＝c，且A＝90°.[能力提升]1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于()\f(7,25) B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25) D．eq\f(24,25)【解析】eq\f(b,c)＝eq\f(5,8)＝eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(sinB,sin2B)＝eq\f(1,2cosB)，所以cosB＝eq\f(4,5)，又cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25).【答案】A2．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(eq\r(3)＋1)∶2，则最大角为()A．45°B．75°C．90°D．105°【解析】由题意知B＝60°，既不是最大角也不是最小角．设C为最大角，则eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，即eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，所以eq\f(sinA＋60°,sinA)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，解得A＝45°，所以C＝180°－60°－45°＝75°.【答案】B3．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(eq\r(3)，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则A，B的大小分别为________．【解析】由m⊥n得A＝eq\f(π,3).由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC的外接圆半径)．acosB＋bcosA＝csinC可变形为sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C.又A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sinC＝sin2C，∴sinC＝1，∴C＝eq\f(π,2)，∴B＝eq\f(π,6).【答案】eq\f(π,3)，eq\f(π,6)4．在△ABC中，已知eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求eq\f(a＋c,b)的取值范围.【导学号：67940035】【解】(1)由正弦定理得eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sin